오일러-라그랑주 방정식

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1. 개요

1.1. 정의1.2. 유도

1.2.1. 오일러 미분방정식

1.3. 벨트라미 항등식

1.3.1. 예제

1.4. 응용

2. 관련 문서

1. 개요

오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation)은 변분법과 고전역학에서 쓰이는 2계 상미분방정식으로 레온하르트 오일러와 조제프루이 라그랑주에 의해 정립되었다.
변분법에서 범함수의 최소, 최대를 찾는 방법으로 개발된 방정식이다.

유체역학에서의 오일러 방정식은 다른 개념이이므로 주의. 또한 오일러 등식과도 다르다.

1.1. 정의

변수를 하나만 가지는 함수 [math(y(x))]와 그 도함수 [math(y'(x))]를 변수로 가지는 어떤 범함수(functional) [math(J)] 가 있다고 하자.

[math(\displaystyle J = \int_{x_1}^{x_2} f(y(x),\,y'(x),\,x){\rm\,d}x)][1]

이러한 범함수의 극값(극대 또는 극소)을 주는 함수 [math(f)]가 만족시키는 미분방정식은 다음과 같다.

[math(\dfrac{\partial f}{\partial y} - \dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{\partial f}{\partial y'} = 0)]

이 미분방정식을 오일러-라그랑주 방정식이라고 한다.

1.2. 유도

우선 일반적인 경우를 증명하기 전에 이해를 돕기 위해서 다음 예시를 먼저 살펴보자.

두 점을 잇는 가장 짧은 곡선은 직선임을 보여라.

먼저, 두 점을 잇는 선을 어떤 현악기의 줄이라고 보고, 그 줄의 길이를 [math(L)]이라 하자.

그 다음 줄을 손으로 1 mm 정도 잡아당겨 보자. 그럼 아래 그림처럼 줄이 휘어질 것이다. (그림은 과장해서 그렸다)

줄을 함수의 그래프와 같은 것이라고 보고, 이렇게 휘어진 줄과 원래 직선과의 차이를 [math(\eta(x))]라고 하자. 즉 [math(x)]축이 바이올린의 줄과 평행한 좌표계에서 처음 상태를 [math(f(x))]라고 하고 휘어진 그래프를 [math(g(x))]라고 하면 [math(\eta(x) = g(x)-f(x))]인 것이다. 그런 데 줄의 끝 좌표는 각각 [math(x_1)], [math(x_2)]로 고정되어 있다. 즉 차이가 없는 것이다. 따라서 [math(\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0)]이다.

그럼 여기서 줄을 5 mm 정도로 더 잡아당기면 어떻게 될까? 차이가 5배로 커질 것이다. 즉 차이는 [math(5\eta(x))]가 된다.
마찬가지로, 2 mm를 잡아당기면 차이는 대략 [math(2\eta(x))]이고, 10 mm를 잡아당기면 [math(10\eta(x))]이고, 아니면 반대 방향으로 3 mm를 잡아당기면 차이는 [math(-3\eta(x))]가 될 것이다. 즉 [math(\alpha)] mm 잡아당기면 차이는 [math(\alpha\eta(x))]가 된다.

이렇듯 줄의 모양, 즉 함수의 그래프 모양은 [math(x)]뿐만 아니라 잡아당긴 정도 [math(\alpha)]에도 의존한다는 것을 알 수 있다. 이를 [math(g(x) = y(\alpha,\,x))]로 나타내면, 아래 그림과 같이 나타낼 수 있고 악기를 가만히 놔뒀을 때 줄은 직선(최단거리)이며 이는 [math(y(0,\,x) = y(x))]이다.

즉 줄을 5 mm 잡아당긴 함수는 [math(y(5,\,x))]이고, 반대쪽으로 3 mm 잡아당기면 [math(y(-3,\,x))]이다. 그런데 아까 줄을 [math(\alpha)] mm 잡아당기면 원래 상태와의 차이는 [math(\alpha\eta(x))]가 된다고 했다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(y(\alpha,\,x)=y(0,\,x)+\alpha\eta(x))]
(잡아당긴 줄은, 원래 줄에다가 잡아당김을 더한 것이다.)

즉, 그래프 [math(y)]는 이제 [math(\alpha)]에 따라 변하는 함수가 된 것이다. 예를 들어, 줄을 튕겨서 진동시키는 것은 [math(\alpha)]를 진동시키는 것이라고 생각하면 된다. 그러면 당연히 줄의 길이 [math(L)]도 [math(\alpha)]에 대한 함수가 된다! 예를 들어, 원래 길이가 50 cm였는데 줄을 잡아당기면 51 cm가 될 수도 있는 것이다. 그러면 줄의 길이 [math(L)]를 잡아당긴 거리 [math(\alpha)]에 따라 그래프를 그릴 수 있다.

그런데 줄이 가장 짧을 때는 언제일까? 당연히 하나도 안 잡아당겼을 때, 즉 [math(\alpha=0)]일 때이다. 그리고 미적분을 배우면 알겠지만 [math(\alpha = 0)]에서 줄의 길이가 극소가 된다는 것은 미분계수가 0이라는 것을 의미한다.

[math({\left.\dfrac{\partial L}{\partial\alpha}\right|}_{\alpha=0} = 0)]

결국 위 식을 풀면 최단거리는 직선일 때임을 증명할 수 있다. 이제 계산을 해 보자.
두 점 사이의 곡선의 길이 공식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle L = \int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+{y'}^2}{\rm\,d}x)]

이때 [math(f = \sqrt{1+{y'}^2})]라고 하면 [math(\displaystyle L = \int_{x_1}^{x_2}f{\rm\,d}x)]라고 쓸 수 있다. 적분의 위끝 아래끝이 상수이므로 적분 기호 안에서 미분해도 된다. 이것을 [math(\alpha)]로 미분하면

[math(\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial\alpha} &= \frac\partial{\partial\alpha} \int_{x_1}^{x_2}f{\rm\,d}x \\
&= \int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial f}{\partial\alpha}{\rm\,d}x \end{aligned})]

이 되는데, 그래프가 직선이라면 위 식은 0이 되어야 한다. 여기서 연쇄 법칙(합성함수의 미분법)을 쓰면, [math(\cfrac{\partial f}{\partial\alpha} = \cfrac{\partial f}{\partial y'}\cfrac{\partial y'}{\partial\alpha})]이다. 이를 적용하면

[math(\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial\alpha} &= \int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial\alpha}{\rm\,d}x \\
&= \int_{x_1}^{x_2} \frac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}} \frac{\partial y'}{\partial\alpha}{\rm\,d}x \\
&= 0 \end{aligned})]

한편, 위에서 [math(y(\alpha,\,x)=y(0,x) + \alpha\eta(x))]라는 관계식을 보자. 이를 [math(x)]로 미분해서 도함수를 구하면 [math(y'(\alpha,\,x) = y'(0,\,x) + \alpha\eta'(x))]이다. 그런데 이것을 다시 [math(\alpha)]로 편미분[2]하면 [math(\cfrac{\partial y'}{\partial\alpha} = \eta'(x))]이다. 이를 대입하면

[math(\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial\alpha} &= \int_{x_1}^{x_2} \frac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}}\eta'(x){\rm\,d}x \\
&= 0 \end{aligned})]

그런데 이 적분은 부분적분이 되는 꼴이다. [math(\eta'(x))]를 적분, [math(\dfrac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}})]를 미분할 함수로 두면 된다. 이를 계산하면 다음 식을 얻는다.

[math(\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial\alpha} &= {\left[ \frac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}}\eta(x) \right]}_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2} \eta(x)\frac{\rm d}{{\rm d}x}{\left( \frac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}}\right)}{\rm\,d}x \\ &= 0 \end{aligned})]

그런데 아까 줄의 끝이 고정되어 있다고 했다. 즉 [math( \eta (x_1) = \eta (x_2) = 0 )]이므로, 제1항은 0이다. 그러면 뒤에 있는 적분이 남는다.

[math(\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial\alpha} &= -\int_{x_1}^{x_2} \eta(x) \frac{\rm d}{{\rm d}x} {\left( \frac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}} \right)}{\rm\,d}x \\
&= 0\end{aligned})]

여기서 잘 생각해 보자. [math(\eta(x))]는 잡아당긴 줄과 원래 줄의 차이었다. 그런데 줄을 한 손가락으로 당길 수도 있는 것이고, 두 손가락으로 당길 수도 있는 것이고, 활로 그을 수도 있고, 줄 맨 끝을 튕길 수도 있고, 정중앙에 손가락을 대고 튕겨서 하모닉스 소리를 낼 수도 있는 것이다. 이게 무슨 말이냐면, [math(\eta(x))]가 도대체 어떻게 생겼는지 알 수가 없다는 것이다. 즉 어떤 모양의 [math(\eta(x))]를 가져와도 무조건 저 식이 0이 되도록 해야 한다. 항등식의 성질을 생각해 보면 대괄호 안이 0이 되는 수밖에 없다는 것을 알아챌 수 있을 것이다.[3] 따라서

[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}{\left( \dfrac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}} \right)} = 0)]

이어야 한다. 양변을 [math(x)]로 적분하면

[math(\dfrac{y'}{\sqrt{1+{y'}^2}} = C)]

이고, [math(C)]는 적분상수이다. 이를 [math(y')]에 대하여 정리하면

[math(y' = \sqrt{ \dfrac{C^2}{1 - C^2}})]

이고 위 값 역시 상수이다. 이를 [math(a)]라고 하면 [math(y)]는 기울기가 [math(a)]로 일정한 직선이다. 즉 [math(y = ax+b)]를 얻는다!

여기까지가 오일러 방정식을 유도하는 과정을 예로 들어 본 것이다. 이제 일반적인 범함수에서 오일러 방정식을 유도해 보자.

1.2.1. 오일러 미분방정식

한 지점 [math((x_1,\,y_1))]에서 다른 지점 [math((x_2,\,y_2))]까지 적분으로 정의된 범함수

[math(\displaystyle J = \int_{x_1}^{x_2} f(y(x),\,y'(x),\,x){\rm\,d}x)]

를 생각해 보자. 우리의 목표는 이러한 [math(J)]가 극값(극대 또는 극소)가 되는 [math(y(x))]를 찾는 것이고, 이때의 [math(y(x))]를 [math(y(0,\,x))]라고 하자. 그러면 가능한 모든 [math(y(x))]를 아래 그림처럼 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다.

[math(y(\alpha,\,x) = y(0,\,x)+\alpha\eta(x))]

이때 [math(\eta(x))]는 미분 가능하고 [math(\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0)]을 만족하는 임의의 함수이고, [math(\alpha)]는 임의의 작은 실수이다. 위 식의 의미는 [math(y(\alpha,\,x))]가 정답으로부터 [math(\alpha\eta(x))]만큼 살짝 벗어나 있다는 것이다. 이제 [math(J)]는 다음과 같이 [math(\alpha)]에 대한 함수가 되었다.

[math(\displaystyle J(\alpha) = \int_{x_1}^{x_2} f(y(\alpha,\,x),\,y'(\alpha,\,x),\,x){\rm\,d}x)]

그런데 [math(\alpha = 0)]를 대입하면 [math(y(\alpha,\,x))]는 [math(y(0,\,x))], 즉 극값이 된다. [math(\alpha = 0)]에서 극값을 가진다는 것을 수학적으로 표현하면 다음과 같다.

[math({\left.\dfrac{\partial J}{\partial\alpha}\right|}_{\alpha = 0} = 0)][4]

이제 편미분을 계산해 보자. [math(J)]를 [math(\alpha)]로 편미분하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \frac{\partial J}{\partial\alpha} = \frac\partial{\partial\alpha} \int_{x_1}^{x_2} f(y,\,y';\,x){\rm\,d}x)]

그런데 적분 기호의 위끝과 아래끝은 상수이므로, 적분 기호 안에서 미분할 수 있다. 다변수 함수 [math(f)]에 연쇄 법칙을 이용하면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math(\displaystyle \frac{\partial J}{\partial\alpha} = \int_{x_1}^{x_2} {\left( \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial\alpha} + \frac{\partial f}{\partial y'} \frac{\partial y'}{\partial\alpha} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \alpha}\right)}{\rm\,d}x)]

그런데 [math(y(\alpha,\,x) = y(0,\,x) + \alpha\eta(x))]이고, 양변을 [math(x)]로 미분하면 [math(y'(\alpha,\,x) = y'(0,\,x) + \alpha\eta'(x))]가 된다. 그리고 [math(\alpha)]로 편미분한다는 것은 [math(x)]를 상수로 취급한다는 것이기에 [math(\cfrac{\partial x}{ \partial\alpha} = 0)]이다. 하지만 [math(y)] 및 [math(y')]은 [math(\alpha)]에 대한 함수라는 것에 주목하자.[5] 따라서 각 변수를 [math(\alpha)]로 편미분하면 다음을 얻는다.

[math(\begin{cases} \cfrac{\partial y}{\partial\alpha} = \eta(x) \\
\cfrac{\partial y'}{\partial\alpha} = \eta'(x) \\
\cfrac{\partial x}{\partial\alpha} = 0 \end{cases})]

이를 위 식에 대입하면,

[math(\displaystyle \frac{\partial J}{\partial\alpha} = \int_{x_1}^{x_2} {\left( \frac{\partial f}{\partial y}\eta(x) + \frac{\partial f}{\partial y'} \eta'(x) \right)}{\rm\,d}x)]

여기서 두 번째 항의 [math(\eta'(x))]를 적분, [math(\cfrac{\partial f}{\partial y'})]를 미분할 함수로 두고 부분적분법을 적용하면 다음과 같다.

[math(\displaystyle \frac{\partial J}{\partial\alpha} = \int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial f}{\partial y}\eta(x){\rm\,d}x + {\left[ \frac{\partial f}{\partial y'} \eta(x) \right]}_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2} \eta(x)\frac{\rm d}{{\rm d}x} {\left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right)}{\rm\,d}x)]

위에서 [math(\eta(x))]를 정의할 때 [math(\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0)]이었으므로 제2항은 0이 된다. 나머지를 [math(\eta(x))]로 묶어서 정리하면

[math(\displaystyle \frac{\partial J}{\partial\alpha} = \int_{x_1}^{x_2} \eta(x){\left( \frac{\partial f}{\partial y} - \frac{\rm d}{{\rm d}x} \frac{\partial f}{\partial y'}\right)}{\rm\,d}x)]

이 되고, 이것이 0이 되어야 한다. 그런데 이 식은 임의의 [math(\eta(x))]에 대하여 항상 0이 되어야 하므로, 결국 괄호 안 전체가 0이 되는 방법밖에 없다.[6] 따라서 다음의 오일러 방정식을 얻는다.

[math(\dfrac{\partial f}{\partial y} - \dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{\partial f}{\partial y'} = 0)]

1.3. 벨트라미 항등식

오일러 방정식을 풀 때, 위의 예제처럼 [math(f)]가 [math(y')], [math(x)]만의 함수이고, [math(y)]와는 독립일 경우 첫째 항 [math(\cfrac{\partial f}{\partial y})]가 사라지기 때문에 풀기 쉽다. 한편, [math(f)]가 [math(y)], [math(y')]만의 함수이고 [math(x)]는 들어가지 않을 때, 즉 [math(f = f(y,\,y'))]일 때도 쉽게 변형해서 푸는 방법이 있는데, 이를 벨트라미 항등식(Beltrami identity)라고 한다. [math(\cfrac{\partial f}{\partial x} = 0)]일 때, 오일러 방정식은 다음 방정식과 동치이다.

[math(f - y'\cfrac{\partial f}{\partial y'} = {\sf const.})]

참고로, 좌변은 [math(f)]를 [math(y')]에 대해 르장드르 변환한 것이다.

{{{#!folding [ 증명 보기 · 숨기기 ]

[math(f)]는 [math(y)], [math(y')]의 함수이다. 따라서 연쇄 법칙에 의해

[math(\begin{aligned} \frac{{\rm d}f}{{\rm d}x} &= \frac{\partial f}{\partial y} \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} + \frac{\partial f}{\partial y'}\frac{{\rm d}y'}{{\rm d}x}\\
&= y'\frac{\partial f}{\partial y} + y''\frac{\partial f}{\partial y'} \end{aligned})]

한편, [math(y'\cfrac{\partial f}{\partial y'})]를 [math(x)]로 미분하면 곱의 미분법에 의해

[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}{\left(y'\dfrac{\partial f}{\partial y'}\right)} = y''\dfrac{\partial f}{\partial y'} + y'\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}\dfrac{\partial f}{\partial y'})]

위 두 식에서 [math(y''\cfrac{\partial f}{\partial y'})]를 소거하면

[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}{\left(y'\dfrac{\partial f}{\partial y'}\right)} = \dfrac{{\rm d}f}{{\rm d}x} - y'\dfrac{\partial f}{\partial y} + y'\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \dfrac{\partial f}{\partial y'})]

우변의 마지막 두 항은 [math(y')]으로 묶을 수 있다. 좌변을 우변으로 이항하고 정리하면

[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x} {\left( f - y'\dfrac{\partial f}{\partial y'} \right)} - y'{\left( \dfrac{\partial f}{\partial y} - \dfrac{\rm d}{{\rm d}x} \dfrac{\partial f}{\partial y'} \right)} = 0)]

그런데 마지막 괄호 안에 있는 식은 오일러 방정식이랑 똑같은 모양이다! 따라서 괄호 안은 0이 되어서 사라진다. 남은 항을 [math(x)]로 적분하면 증명이 끝난다.

[math(f - y'\dfrac{\partial f}{\partial y'} = {\sf const.})]

}}} ||
참고로 이 식의 [math(f)]에 라그랑지언 [math(\mathscr L)]을 대입하면 이는 해밀토니언 [math(\mathcal H)]의 정의가 된다! 따라서 이는 해밀토니언이 보존된다는 결과를 의미한다.

1.3.1. 예제

[math((x_1,\,y_1))]과 [math((x_2,\,y_2))]를 이은 곡선을 [math(x)]축을 중심으로 회전한 회전체의 겉넓이가 최소가 되는 경로를 찾아보자. 회전체의 겉넓이 [math(S)]는

[math(\displaystyle S = \int_{x_1}^{x_2}2\pi y \sqrt{1 + {y'}^2}{\rm\,d}x)]

이다. 그런데 적분변수를 [math({\rm d}y)]로 치환하면

[math(\begin{aligned} S &= \int_{x_1}^{x_2} 2\pi y \sqrt{1 + {y'}^2}{\rm\,d}x \\
&= \int_{y_1}^{y_2} 2\pi y \sqrt{1 + \frac1{{x'}^2}}x'{\rm\,d}y \\
&= \int_{y_1}^{y_2} 2\pi y \sqrt{1 + {x'}^2}{\rm\,d}y \end{aligned})]

이다. 위 함수는 [math(S(x';\,y))]이므로 오일러 방정식 [math(\cfrac{\partial S}{\partial x}-\cfrac{\rm d}{{\rm d}y}\cfrac{\partial S}{\partial x'} = 0)]에 대입하면

[math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}y}{\left( y\dfrac{x'}{\sqrt{1 + {x'}^2}}\right)} = 0)]

이다. 양변을 [math(y)]로 적분하면

[math(y\dfrac{x'}{\sqrt{1 + {x'}^2}} = a)]

이고, [math(a)]는 적분상수이다. 이를 [math(x')]에 대해서 풀면

[math(x' = \dfrac{{\rm d}x}{{\rm d}y} = \dfrac a{\sqrt{y^2 - a^2}})]

이다. 양변을 [math(y)]로 적분하는데, [math(y = a\cosh t)]로 치환해 보자.

[math(x = a \operatorname{arcosh}\dfrac ya + b)]

이고, [math(b)]는 적분상수이다. 따라서 곡선의 모양은

[math(y = a\cosh\dfrac{x-b}a)]

꼴이다. 이것은 현수선의 방정식이다. 현수선 문서와 비교해 보자.

1.4. 응용

물리적으로는 라그랑주 역학의 핵심인 최소작용의 원리를 수학적으로 표현한 것이다. 대표적으로 [math(x)]가 시간, [math(y)]가 변위, [math(f)]가 라그랑지언이라고 하면 라그랑지안 역학의 기본꼴이 되며, 에너지의 표현식을 알면 힘의 작용점 분석 없이도 운동방정식을 얻을 수 있다.

2. 관련 문서

[1] [math(y)] 및 [math(y')]의 변수 [math(x)]를 생략하는 경우도 있는데 이때에는
[math(\displaystyle J = \int_{x_1}^{x_2} f(y,\,y';\,x){\rm\,d}x)]
처럼 세미콜론을 이용한 표기도 쓰인다.[2] [math(\alpha)]를 제외하고는 다 상수로 보고 미분한다.[3] 이것의 엄밀한 증명은 변분법의 기본정리를 참고하라.[4] 이 식은 간단하게 [math(\delta J = 0)]로 쓰기도 한다. 변분 참고.[5] 이것은 상당히 중요한 사실이다. 지금 [math(\alpha)]의 변화를 보고 있는데, [math(x)]는 [math(\alpha)]와 독립이고 [math(y)], [math(y')]만 [math(\alpha)]의 함수이다. 이것은 극값을 따질 때 [math(y)], [math(y')]의 변화만 보겠다는 것이다. 이를 통해 라그랑주 역학에서 액션이 시간의 변화와 관계 없다는 사실을 알 수 있다.[6] 사실 엄밀하게 이것은 변분법의 기본정리에 의한 것으로, 자세한 증명은 해당 문서에 있다.

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오일러-라그랑주 방정식

1. 개요

1.1. 정의

1.2. 유도

1.2.1. 오일러 미분방정식

1.3. 벨트라미 항등식

1.3.1. 예제

1.4. 응용

2. 관련 문서

분류