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축소구간정리

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1. 개요2. 증명3. 응용
3.1. 실수의 비가산성 증명법

1. 개요

縮小區間定理 / nested intervals theorem
해석학의 한 이론. 폐구간의 부분집합 중 폐구간인 부분집합으로 이루어진 부분집합열의 극한은 적어도 원소를 1개 이상 가진다는 정리다.

수학적으로 표현하면 다음과 같다.
축소구간열이란 다음 조건을 만족하는 구간열을 의미한다.
  • [math(\forall n \in \mathbb{N}, I_{n}\supseteq I_{n+1})]

이 때, 폐구간의 축소구간열 [math(\left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}})]에 대하여, [math(\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_{n}\neq \emptyset)]이다.
  • 특히, 구간의 지름이 [math( 0 )]으로 수렴하면 [math(\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n )]은 1개의 원소만을 갖는다. 수학적으로 표현하면, 각 [math( n \in \mathbb{N} )]에 대해, [math( I_n = [x_n,y_n] )]이라고 할 때, [math( \lim\limits_{n \to \infty} (y_n - x_n) = 0 )]이면 어떤 [math( p \in \mathbb{R} )]가 존재해 [math(\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n = \{p \} )]이다.

2. 증명

각 폐구간 [math(I_{n})]을 [math(\left[x_n, y_n\right])]이라 두면, 구간의 기본적인 성질에 따라 [math(\forall n \in \mathbb{N})]에 대하여 [math(x_n \leq y_n)]이다.

이 때, 축소구간열의 성질에 따라 [math(x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n\leq\cdots)]라는 단조 증가 수열과 [math(y_1 \geq y_2\geq\cdots\geq y_n\geq\cdots)]이라는 단조 감소 수열이 만들어지는데, 결국 [math(\forall n \in \mathbb{N})]에 대하여 [math(x_n \leq y_n)]이므로 [math(x_n \leq y_1, x_1 \leq y_n)]이다.

즉, 위의 두 단조수열은 유계인 단조증가/단조감소 수열이므로 단조 수렴 정리에 의해 극한값이 존재한다.
따라서 [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n = \sup x_n=x, \lim_{n\to\infty}y_n=\inf y_n=y)]라고 두자.
그러면 [math(\forall n \in \mathbb{N})]에 대하여 [math(z \in \left[x, y\right])]이면 [math(z \in I_n)]이 성립하므로, [math(\displaystyle z \in \bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_{n})]이 성립하기 때문에, [math(\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}}I_{n}\neq \emptyset)]가 성립하므로 증명 완료.

한편, [math( \lim\limits_{n \to \infty} (y_n - x_n) = 0 )]일 때, [math(\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n )]가 한원소집합임을 보이자. [math( \lim\limits_{n \to \infty} x_n )]와 [math( \lim\limits_{n \to \infty} y_n )]가 수렴하므로, [math( \lim\limits_{n \to \infty} (y_n - x_n) = \lim\limits_{n \to \infty} y_n - \lim\limits_{n \to \infty} x_n = 0 )]이다. 따라서 [math( x = y )]이다. 따라서 [math(\displaystyle \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_n )]에 포함되는 점은 [math( x )]뿐이다.

3. 응용

이 정리를 이용한 대표적인 증명으로는 중간값 정리의 증명이 있으며, 그 외에도 역사상 가장 처음으로 이루어진 실수의 비가산성 증명법이 있다. 중간값 정리 증명은 해당 항목의 다른 증명 문단을 참조.

3.1. 실수의 비가산성 증명법

게오르크 칸토어가 대각선 논법 이전에 증명한 방법이다. 증명 내용은 다음과 같이 귀류법을 이용하여 증명한다.

먼저 [math(\left[0,1\right])]이 가산집합이라고 가정하자.
그렇다면 [math(\left[0,1\right])]은 가산개의 원소를 가진 무한집합으로서 다음과 같이 표현할 수 있다.

[math(\left[0,1\right]=\{x_1,x_2,\cdots\})]
이제, [math(\left[0,1\right])]의 첫번째 원소인 [math(x_1)]을 포함하지 않는 부분집합 중, 폐구간을 하나 잡아 [math(I_1)]라고 정의하자. 즉 [math(x_1 \notin I_1\subseteq\left[0,1\right])]이다.
이제 이를 계속 반복하자. 즉 [math(x_{n+1}\notin I_{n+1} \subseteq I_{n})]를 만족하는 폐구간열을 만들면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다.
  • [math(\left[0,1\right]\supset I_1\supset I_2\supset I_3\supset I_4\supset \cdots)]

따라서 축소구간정리에 의해 [math(\displaystyle \bigcap_{n\in \mathbb{N}} I_n\neq \emptyset)]이 되며, 이는 곧 적당한 자연수 [math(m\in\mathbb{N})]이 적어도 한개는 존재하여, [math(\forall I_n \ni x_m)]이 성립함을 의미한다. 하지만 위의 폐구간열을 정의한 내용에 의해 [math(\forall p>m)]에 대하여 [math(I_p\notni x_m)]이기 때문에 모순이 발생한다.
즉, 처음에 가정한 [math(\left[0,1\right])]이 가산집합이라는 것이 틀렸다는 것이 되며, 따라서 [math(\left[0,1\right])]은 비가산집합이다.(■)



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