1. 개요
국소 볼록 공간(locally convex space, LCS)은 공간의 각 원소가 볼록집합으로 구성된 국소 기저를 갖는 위상이 부여된 위상 벡터 공간으로, 노름 공간의 일반화이다. 국소 볼록 공간은 특정 성질을 만족시키는 집합으로 구성된, 원점의 국소 기저 또는 반노름족을 이용해 정의할 수 있다. 함수해석학에서 다루는 여러 공간이 국소 볼록 공간에 해당한다. 국소 볼록 공간을 다룰 때 많은 경우 하우스도르프 성질을 함께 가정한다. 국소 볼록 공간이 하우스도르프 성질을 가지고 있다는 것을 특별히 강조할 때 국소 볼록 하우스도르프 공간(locally convex Hausdorff space, LCH 공간, LCH space)이라고 지칭한다.2. 정의
체 [math(\mathbb{K\in\{R,C\}})] 위의 벡터 공간 [math(X)]에 두 연산 [math(+:X \times X\to X)]과 [math(\cdot:\mathbb{K}\times X \to X)]가 연속인 위상이 주어졌을 때 [math(X)]를 위상 벡터 공간(topological vector space)라고 한다.국소 볼록 공간은 반노름족 또는 원점의 국소 기저를 이용해 정의할 수 있으며, 각 방법을 이용한 정의는 서로 동치이다.
2.1. 반노름에 의한 정의
벡터 공간 [math(X)]의 원소 [math(x_0\in X)]와 [math(X)]의 반노름족 [math(\mathcal{P})]의 반노름 [math(p\in\mathcal{P})], 양수 [math(\epsilon)]에 대하여 집합[math(\{x:p(x-x_0)<\epsilon \})]
의 족은 [math(X)]의 부분기저를 이룬다. 즉 임의의 [math(x_0 \in U)]에 대하여[math(\displaystyle\bigcap_{k=1}^n \{x\in X: p_k (x-x_0)<\epsilon_k\}\subseteq U)]
를 만족시키는 [math(p_1,\ldots p_n \in \mathcal{P})]와 [math(\epsilon_1,\ldots , \epsilon_n >0)]가 존재하는, [math(X)]의 부분집합 [math(U)]가 열린집합인 [math(X)] 위의 위상을 정의할 수 있다. 이와 같이 정의된 위상에서 벡터공간 [math(X)]의 덧셈과 곱셈은 연속함수이므로 반노름족 [math(\mathcal{P})]는 위상벡터공간 [math(X)]를 정의한다. 위상벡터공간 [math(X)]가 국소 볼록 공간일 필요충분조건은 [math(X)]가 다음을 만족시키는 반노름족 [math(\mathcal{P})]로 정의되는 것이다.[math(\displaystyle\bigcap_{p\in\mathcal{P}}\{x:p(x)=0\}=\{0\})]
2.2. 국소 기저에 의한 정의
원점의 국소 기저와 관련된 정의를 위해 집합의 볼록성, 균형성, 흡수성을 정의한다. 집합 [math(C\subseteq X)]가 상수 [math(t\in[0,1])]에 대하여[math(tC+(1-t)C\subseteq C)]
를 만족시키면 [math(C)]를 볼록집합(convex set)이라 한다. 집합 [math(B\subseteq X)]가 [math(|\alpha|\ge 1)]인 임의의 [math(\alpha\in\mathbb{K})]에 대하여 [math(\alpha B \subseteq B)]를 만족시면 [math(B)]를 균형집합(balanced set)이라 한다. 집합 [math(A\subseteq X)]가 임의의 [math(x\in X)]에 대하여 [math(x\in t A)]인 양수 [math(t)]를 가지면 [math(A)]를 흡수집합(absorbing set)이라고 한다. 위상 벡터 공간 [math(X)]가 국소 볼록 공간일 필요충분조건은 [math(X)]가 흡수 균형 볼록 집합으로 이루어진, 원점의 국소 기저를 갖는 것이다.3. 성질
3.1. 반노름의 성질
3.2. 거리화 가능성
3.3. 노름화 가능성
4. 예시
- 프레셰 공간(Fréche space)
완비 거리 구조를 갖는 국소 볼록 공간으로, 바나흐 공간의 일반화이다.