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1. 개요
로그함수(logarithmic function)는 진수에 변수 [math(x)]가 있는 함수를 의미한다. 즉,| [math(\displaystyle \begin{aligned} f(x) = \log_ax \qquad (x>0, a>0, a\ne1) \end{aligned} )][1]로 잡았을 때, [math(\log_{-1}e=\dfrac{\log_e e}{\log_e{-1}}=\dfrac1{\pi i}=-\dfrac i\pi)]이다. 오일러 등식을 적용하면 안 되는 것이, 편각이 주기 [math(2\pi)]인 다가 함수(즉, [math(e^{\pi i}=-1)]이 아니라 [math(e^{(2n+1)\pi i}=-1)])이기 때문이다. 자세한 내용은 복소로그함수 참고.] |
특히, 밑이 [math(a=e)]인 경우에 한해선
[math(\ln x:= \log_e x)]
로 쓰고 자연로그라고 부른다. 그러나 대학 수학 이상에서는 필요한 분야 외에는 상용로그를 쓸 일이 거의 없기 때문에 자연로그를 [math(\log)]라고 쓰는 것이 흔하다. 또한 정보이론이나 컴퓨터과학에서는 밑이 2인 로그 [math(log_2)]를 흔히 쓰므로 이를 [math(\rm lb)] 혹은 [math(\rm lg)][2]로 나타내기도 한다.
지수함수와 마찬가지로 유한 차수 다항식으로 표현할 수 없기 때문에 초월함수에 속한다.
대한민국의 고교 과정 수학에서는 편의상 함수의 거듭제곱 표기를 함수의 합성을 나타내는 데 사용하지만, 일반적으로 함수의 거듭제곱 표기는 함수의 결과값의 거듭제곱으로 쓰인다. 로그함수도 마찬가지다. 이를테면 다음과 같다.
| [math(\displaystyle \begin{aligned} {\log_a}^2\,x &= (\log_ax)^2 \\ &\ne (\log_a\circ\log_a)(x) = \log_a(\log_ax) \end{aligned} )] |
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \ln\ln x &= \ln(\ln x) = (\ln\circ\ln)(x) \\ \log\log x &= \log(\log x) = (\log\circ\log)(x) \end{aligned} )] |
고등학교 교육과정 수준에서 자세히 설명한 영상.
2. 그래프의 특징
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| [math(\boldsymbol{a>1})]일 때 그래프 개형 |
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| [math(\boldsymbol{0<a<1})]일 때 그래프 개형 |
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| 복소평면에서의 그래프 개형[3] | |
[math(f(x) = \log_ax)]의 그래프는 다음과 같은 성질이 있다.
- [math(a^0 = 1 \Leftrightarrow \log_a1 = 0)]이므로, [math(a)]의 값에 관계 없이 점 [math((1,0))]을 지난다.
- [math(a^1 = a \Leftrightarrow \log_aa = 1)]이므로, 점 [math((a,1))]을 지난다.
- [math(a^{-1} = \dfrac1a \Leftrightarrow \log_a\dfrac1a = -1)]이므로, 점 [math(\biggl(\dfrac1a,-1\biggr))]을 지난다.
- [math(a>1)]이면 단조증가하고, [math(0<a<1)]이면 단조감소한다.
- 밑에 관계없이 [math(\log_ax = -\log_a\dfrac1x)]이다.
- 지수함수 [math(f(x) = a^x)]와 서로 역함수 관계에 있으므로, 해당 그래프와는 직선 [math(y=x)]를 기준으로 대칭이다. 즉, 밑이 [math(0)]보다 크고 서로 같다면 지수함수의 [math(x)]좌표 = 로그함수의 [math(y)]좌표, 지수함수의 [math(y)]좌표 = 로그함수의 [math(x)]좌표인 것이다.
2.1. 로그 나선
상수 [math(a)], [math(b)]에 대하여 로그함수
| [math(\displaystyle \begin{aligned} \theta(r)= b\ln(ar) \end{aligned} )] |
구체적으로, 그래프를 원점을 중심으로 확대 혹은 축소하더라도 자기 자신과 합동이 된다. 여러 프랙탈 도형들이 그렇듯 로그나선 또한 자연에서 흔히 나타나는 도형이라고 여겨지고 있다. 대표적으로 앵무조개가 있다.
파일:앵무조개 껍데기.jpg
원점에서 나선 위의 임의의 한 점을 이은 직선과 그 점에서의 접선이 이루는 각은 항상 일정하다. 이때 그 각을 [math(\alpha)]라 하면 위 식에서 [math(b=\tan\alpha)]로 주어진다.
여담으로 야코프 베르누이는 이 경이로운 나선을 자신의 묘비에 새기길 바랐지만, 묘비에는 로그나선 대신 아르키메데스 나선이라는 엉뚱한 나선이 새겨졌다고 한다.
3. 극한값
- [math(a>1)]인 경우
- [math(\lim\limits_{x\to\infty} \log_ax = \infty)]
- [math(\lim\limits_{x\to0^+} \log_ax = -\infty)]
- [math(0<a<1)]인 경우
- [math(\lim\limits_{x\to\infty} \log_ax = -\infty)]
- [math(\lim\limits_{x\to 0^+} \log_ax = \infty)]
- [math(a>1)]일 때[5], 임의의 실수 [math(p>0)]에 대해 [math(\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\log_ax}{x^p} = 0)]
- 통계학의 점근이론 등에 쓰이는 중요한 성질 중 하나로, 매우 느리게 증가함을 의미한다. 분자와 분모 둘 다 증가함수지만, 분모가 증가하는 속도가 분자의 증가 속도보다 훨씬 빠르다는 말이다. 여기서 포인트는 [math(p)]가 [math(0)]보다 큰 임의의 실수라는 것. 즉, 로그함수는 직선 [math(y = x)]보다도 느리게 증가하고, 제곱근함수 [math(y = \sqrt x)]보다도 느리게 증가한다.
- 그래서 역함수인 지수함수는 성질이 정반대이다. 즉, 지수함수의 증가는 어떠한 다항함수의 증가보다도 훨씬 빠르다.
- [math(\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\pi(x)}{x/{\ln x}} = 1)] (소수 정리[6][7])
- [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \Biggl( \sum_{k=1}^n \frac1k -\ln n \Biggr) \!= \gamma)] (오일러-마스케로니 상수)
4. 미적분
- 간단한 꼴의 미분
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_ax &= \frac1{x\ln a} \\
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_a(bx+c) &= \frac b{(bx+c)\ln a}
\end{aligned} )]||
도함수의 정의 사용
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \ln x &= \lim_{h\to0} \frac{\ln(x+h)-\ln x}h = \lim_{h\to0} \frac1h (\ln(x+h)-\ln x) \\
&= \lim_{h\to0} \frac1h \ln\biggl( \frac{x+h}x \biggr) \!= \lim_{h\to0} \ln\biggl( 1+\frac hx \biggr)^{\!\footnotesize\frac1h} \\
&= \lim_{h\to0} \ln\biggl( 1+\frac hx \biggr)^{\!\footnotesize\frac xh \frac1x} = \lim_{h\to0} \frac1x \ln\biggl( 1+\frac hx \biggr)^{\!\footnotesize\frac xh} \\
&= \frac1x \lim_{h\to0} \ln\biggl( 1+\frac hx \biggr)^{\!\footnotesize\frac xh} = \frac1x \cdot \ln e \\
&= \frac1x \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
한편, [math(\log_ax = \dfrac{\ln x}{\ln a})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_ax &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} \frac{\ln x}{\ln a} = \frac1{\ln a} \frac{\rm d}{{\rm d}x} \ln x = \frac1{\ln a} \cdot \frac1x \\
&= \frac1{x\ln a} \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
[math(u=bx+c)], [math(y=\log_au)]로 치환 후 합성함수의 미분법 사용.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_a(bx+c) &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_au = \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \\
&= \frac{{\rm d}y}{{\rm d}u} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} = \frac{\rm d}{{\rm d}u} \log_au \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}x} (bx+c) \\
&= \frac1{u\ln a} \cdot b \\
&= \frac b{(bx+c)\ln a} \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
}}}||
- 거듭제곱 꼴의 미분
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \,{\log_a}^n\,x &= \frac{n\,{\log_a}^{n-1}\,x}{x\ln a} \\
&= \frac{n\ln^{n-1}x}{x\ln^na} \\
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \,{\log_a}^n(bx+c) &= \frac{bn\,{\log_a}^{n-1}(bx+c)}{(bx+c)\ln a} \\
&= \frac{bn\ln^{n-1}(bx+c)}{(bx+c)\ln^na}
\end{aligned} )]||
[math(u=\ln x)], [math(y=u^n)]으로 치환 후 합성함수의 미분법 사용.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \ln^nx &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} (\ln x)^n = \frac{\rm d}{{\rm d}x} \,u^n = \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \\
&= \frac{{\rm d}y}{{\rm d}u} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} = \frac{\rm d}{{\rm d}u} \,u^n \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}x} \ln x \\
&= nu^{n-1} \cdot \frac1x = \frac{n(\ln x)^{n-1}}x \\
&= \frac{n\ln^{n-1}x}x \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
[math(u=\log_ax)], [math(y=u^n)]으로 치환 후 합성함수의 미분법 사용.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \,{\log_a}^n\,x &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} (\log_ax)^n = \frac{\rm d}{{\rm d}x} \,u^n = \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \\
&= \frac{{\rm d}y}{{\rm d}u} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} = \frac{\rm d}{{\rm d}u} \,u^n \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_ax \\
&= n{\color{#00aa00}u}^{n-1} \cdot \frac1{x\ln a} = \frac{n\,{\log_a}^{n-1}\,x}{x\ln a} \qquad \blacksquare \\
&= n \biggl( {\color{#00aa00}\frac{\ln x}{\ln a}} \biggr)^{\!n-1} \cdot \frac1{x\ln a} \\
&= \frac{n\ln^{n-1}x}{x\ln^na} \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
[math(u=\log_a(bx+c))], [math(y=u^n)]으로 치환 후 합성함수의 미분법 사용.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\frac{\rm d}{{\rm d}x} \,{\log_a}^n(bx+c) &= \frac{\rm d}{{\rm d}x} (\log_a(bx+c))^n = \frac{\rm d}{{\rm d}x} \,u^n = \frac{{\rm d}y}{{\rm d}x} \\
&= \frac{{\rm d}y}{{\rm d}u} \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} = \frac{\rm d}{{\rm d}u} \,u^n \cdot \frac{\rm d}{{\rm d}x} \log_a(bx+c) \\
&= n{\color{#00aa00}u}^{n-1} \cdot \frac b{(bx+c)\ln a} = \frac{bn\,{\log_a}^{n-1}(bx+c)}{(bx+c)\ln a} \qquad \blacksquare \\
&= n \biggl( {\color{#00aa00}\frac{\ln(bx+c)}{\ln a}} \biggr)^{\!n-1} \cdot \frac b{(bx+c)\ln a} \\
&= \frac{bn\ln^{n-1}(bx+c)}{(bx+c)\ln^na} \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
}}}||
적분 상수는 [math(C)]로 나타내기로 한다.
- 간단한 꼴의 적분
\int \log_ax \,{\rm d}x &= \frac1{\ln a} (x\ln x -x) +C \\
&= x\log_ax -\frac x{\ln a} +C
\end{aligned} )]||
부분적분법을 사용한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int f(x)g'(x) \,{\rm d}x = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]
[math(f(x) = \ln x)], [math(g'(x) = 1)]이라고 두면, [math(f'(x) = \dfrac1x)], [math(g(x) = x)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \ln x \,{\rm d}x &= \int \ln x \cdot 1 \,{\rm d}x \\
&= \ln x \cdot x -\int \frac1x \cdot x \,{\rm d}x \\
&= x\ln x -\int {\rm d}x \\
&= x\ln x -x +C \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
한편, [math(\log_ax = \dfrac{\ln x}{\ln a})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \log_ax \,{\rm d}x &= \int \frac{\ln x}{\ln a} \,{\rm d}x = \frac1{\ln a} \int \ln x \,{\rm d}x \\
&= \frac1{\ln a} (x\ln x -x +C) \\
&= \frac1{\ln a} (x\ln x -x) +C \qquad \blacksquare \\
&= x\log_ax -\frac x{\ln a} +C \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
}}}||
- 거듭제곱 꼴의 적분 ([math(n^{\underline k})]는 하강 계승)
&= \sum_{k=0}^n (-1)^k n^{\underline k} \,x\ln^{n-k}x +C \\
\int {\log_a}^n\,x \,{\rm d}x &= x\,{\log_a}^n\,x -\frac n{\ln a} \int {\log_a}^{n-1}\,x \,{\rm d}x \\
&= \frac1{\ln^na} \sum_{k=0}^n (-1)^k n^{\underline k} \,x\ln^{n-k}x +C \\
&= \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k n^{\underline k}}{\ln^ka} \,x\,{\log_a}^{n-k}\,x +C
\end{aligned} )]||
부분적분법을 사용한다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int f(x)g'(x) \,{\rm d}x = f(x)g(x) -\int f'(x)g(x) \,{\rm d}x
\end{aligned} )]
[math(f(x) = \ln^nx)], [math(g'(x) = 1)]이라고 두면, [math(f'(x) = \dfrac{n\ln^{n-1}x}x)], [math(g(x) = x)]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \ln^nx \,{\rm d}x &= \int \ln^nx \cdot 1 \,{\rm d}x \\
&= \ln^nx \cdot x -\int \frac{n\ln^{n-1}x}x \cdot x \,{\rm d}x \\
&= x\ln^nx -n\int \ln^{n-1}x \,{\rm d}x \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
한편, [math(\log_ax = \dfrac{\ln x}{\ln a})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int {\log_a}^n\,x \,{\rm d}x &= \int (\log_ax)^n \,{\rm d}x = \int \biggl( \frac{\ln x}{\ln a} \biggr)^{\!n} \,{\rm d}x \\
&= \frac1{\ln^na} \int \ln^nx \,{\rm d}x \\
&= \frac1{\ln^na} \biggl( x\ln^nx -n\int \ln^{n-1}x \,{\rm d}x \biggr) \\
&= x\,{\log_a}^n\,x -\frac n{\ln a} \int {\log_a}^{n-1}\,x \,{\rm d}x \qquad \blacksquare
\end{aligned} )]
}}}||
5. 기타
- 미적분학에서는 [math(x^{-1})]의 정적분으로 자연로그의 밑 [math(e)]와 자연로그함수를 먼저 정의하고 이것의 역함수로 지수함수 [math(e^x)]를 정의한 후, 다시 미적분을 활용해서 [math(a^x)]를 정의하기도 한다. 마치 수 체계를 확장해나가듯, 특정한 규칙과 그 속성을 유지하는 [math(e)]와 [math(\ln x)]가 먼저 정의되고 이 값들에 대해 일반화된 함수를 나중에 정의하는 셈. 역사적으로 지수함수보다 로그함수가 먼저 발명되었으므로 이는 역사적인 순서를 따라 정의하는 방법이라 할 수 있다. 그러나 로그함수와 지수함수는 근본적으로 동일한 현상이며 동전의 양면이기 때문에 어느 것을 먼저 정의하든 논리적 정합성만 지킨다면 상관 없다. 일례로 대한민국의 고등학교 수학 교육 과정에서는 지수함수를 배운 뒤 그 역함수로 소개하며 외국의 미적분학 교과서도 흔히 이 순서를 따른다. 당연하지만 지수는 중학교 때도 배워서 익숙한 개념이지만, 로그는 당장 처음 배워야 하기 때문이다.
- 일본에서는 로가리듬을 '대수([ruby(対,ruby=たい)][ruby(数,ruby=すう)])'라고 하므로 로그함수 역시 '대수함수'[10]라고 한다. 이는 중국에서도 마찬가지[11]이다.
- 소수에서 상당히 중요한 함수로, 다름 아닌 소수 계량 함수와 깊게 엮여 있기 때문이다. 자세한 사항은 소수 정리 문서를 참고하자.
- 일반화된 버전으로 폴리로그함수가 있다. 자세한 내용은 해당 문서 참고.
- [math(y=x^x)]이나 무한 지수 탑 함수처럼 괴상한 함수들의 미분이나 복잡한 부정형의 극한을 구할 때 자연로그함수의 미분을 많이 쓴다. [math(\ln x)]의 미분이 [math(1/x)]여서 계산이 여러모로 용이해지기 때문이다.
- 밑에 상관없이 차수가 0이다.
6. 관련 문서
[1] 복소함수론에서는 [math(a<0)]인 로그도 정의할 수 있다. 복소수 [math(z=re^{i\theta})]의 편각 [math(\arg z=\theta)]의 범위를 주값인 [math((-\pi,\,\pi])[2] ISO 표준에서는 밑이 [math(10)]인 로그이므로 주의[3] 우측은 리만 곡면으로 나타낸 것이다.[4] 이 집합은 무한 지수 탑 함수 [math(y = -\dfrac{W(-\operatorname{Log}x)}{{\operatorname{Log}x}})]가 실수 공역을 갖는 집합이기도 하다.[5] [math(0<a<1)]의 경우도 동일한 결과가 성립한다. 그러나 설명의 편의와 의의 전달을 위해 증가하는 경우를 상정함.[6] [math(\pi(x))]는 소수 계량 함수이다. [math(x)]보다 작거나 같은 소수의 개수이다.[7] 이 식은 18세기 말에 가우스와 르장드르에 의해 추측되었고 훗날 증명된 정리이며, 최근에는 로그 적분 함수 [math(\displaystyle \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{{\rm d}t}{\ln t})]를 이용한 식 [math(\lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{\pi(x)}{\operatorname{li}(x)} = 1)]이 더 엄밀하다는 것이 알려져 있다.[8] 소수의 개수까지만 알려줄 뿐, 구체적으로 어떤 소수가 있는지는 알 수 없다. 그 실마리를 찾는 것이 그 유명한 리만 가설이다.[9] [math(x=1)]에서 특이점을 가지므로 코시 주요값을 이용해야 한다.[10] '함수'를 보통 函数가 아닌 関数(관수)로 쓰는데, 단순히 函이 일본에서 상용한자가 아니기 때문에 발음이 かん으로 같은 関으로 대체해서 쓰는 것이다.[11] 중국에서는 函이 상용한자 범위에 있기 때문에 한국과 똑같이 函数라고 한다.