수학과(교과)/문제점 및 해결 방안/교과 재구조화 세부 내용 개선안

1. 서술 방식 및 단원 배치 변경

1.1. 초등학교

1.2. 중학교 · 고등학교

• 중학교 과정에서 다시 '집합'으로 '함수'를 연계 서술한다.
• 논거 1: 원래 함수는 집합론을 이용하여 엄밀하게 정의해야 하지만, 중학 수학 단계에서는 그냥 함수의 평면좌표 상의 기하학적 그래프를 동원하여 정의하고 끝낸다. 즉 중학교 수학 과정에서 '함수'에 관한 정의는 사실상 엄밀하지 못한 정의를 먼저 배운다.
• 논거 2: '함숫값'에 대한 오개념을 가지게 할 수 있다. '함수'는 '방정식'처럼 관계(수학용어)의 개념이 아니기 때문에, 함숫값은 오로지 하나에만 대응된다. 예를 들어 '[math(f(a)=b)] 그리고 [math(f(a)=c)]이다'를 만족하는 [math(f)]는 함수라고 할 수 없다는 것이다.[1] 이를 중학 과정에서 가르쳐주지 않고 넘어가면, 후속 과정에서 배우게 될 도형의 방정식 그래프 파트에서 혼동을 일으킬 수 있다.
• 논거 3: 이 마저도 '실수의 연속성'을 배우지 않고 정의하는 것이다.
• 논거 4: 실제로 교육부가 꾸린 <기본 수학> 연구진이 재차 제기한 문제점이기도 하다(전문가의 발언 인용).
• 보충 의견1: 고1 수학의 '함수'의 정의 부분은 주로 셀 수 있는 집합을 정의역으로 하기 때문에 수준이 그렇게 높지 않다.
• 보충 의견2: 단, 일대일함수, 일대일대응, 역함수, 합성함수, 유리함수, 무리함수 등은 수준이 높으므로 이를 제외하여 내려보낸다.
• 발단: 본래는 중학 과정에서도 집합을 통해 함수를 정의하였다. 그런데 2007 개정 교육과정에서 2009 개정 교육과정으로 개정되면서, <집합과 명제>가 중1 과정에서 삭제되고, 관련 내용이 모두 고등 과정으로 흡수되었다. 당시 집합 단원을 삭제하고 고등 과정으로 통합한 이유는 황당하게도 '정의역'과 '치역', '공역'이라는 용어가 그저 생소하다는 이유였다.[2][3]
• 보충 의견3: 처음에 배워서 각인된 정의는 쉽게 고칠 수 없는 부분이다. 당장 대학 미적분학 맨 처음에 나오는 엡실론-델타 논법을 어려워하는 이유가 이때문. 엄밀함을 둘째치고 추론 교육에도 악영향을 미칠 수가 있다.
• 보충 의견4: 다변수함수에 대해서도 가르칠 필요가 있으며, 그 예시를 최대공약수/최소공배수로 한다. 실제로 이 둘은 [math(\gcd(x,\,y), \mathrm{lcm}(x,\,y))]로 표기되는 엄연한 '이변수 함수'다.

• [중1, 고1] 중학교·고등학교 전 과정에서 <경우의 수>를 '첫 단원'에 배치한다.
• 논거 1: <기본 수학> 연구진의 논문에 의하면 경우의 수 단원이 필연적으로 '확률과 통계'로 묶이는 것에 의아함을 표출하였고, 실제로 '경우의 수' 단원을 1단원에 배치하기도 하였다(전문가 결정 인용). 더불어 이 방법은 학업 성취도를 높일 수 있다고 공언하였다.
• 논거 2: 합의 법칙과 (특히) 곱의 법칙은 거의 모든 수학적 사고의 원천이자 기반이 되는 것이며, 문제 해결에서도 자주 쓰는 '주요 아이디어'이다.[4]
• 보충 의견1: 확률과 통계(2009) 교과 내용을 그대로 중 1, 중 2, 중 3, 고 1, 선택 과정으로 적절히 분산시키는 방법이 고려될 수 있다. 아래는 그 예시이다.
• 중1: '합의 법칙', '곱의 법칙'
• 중2: '순열', '조합'
• 중3: '중복 순열', '원순열', '같은 것이 있는 순열'
• 고1: '중복 조합', '이항정리'
• 보충 의견2: 조금 더 엄밀하게 가르치려면 '집합'부터 선행한 뒤에 배치하는 것도 고려될 수 있다. 먼저 '데카르트 곱'이라는 '곱집합'의 개념이 '곱의 법칙'에서 나오는 원소이기 때문이기도 하다. 그리고 경우의 수가 '어떤 표본공간의 부분집합의 크기'라는 점을 감안한다면 집합 뒤에 편성되는 게 옳을 것이다. '시행'과 '사건'이라는 용어는 확률론에 먼저 등장하는데, 실제 교과 구성은 확률보다 경우의 수를 먼저 배운다. 경우의 수가 바로 확률에서 정의하는 '사건'의 크기이다. 즉 시행, 사건을 서술하지 않고 '경우의 수'부터 배우는 것이다. 이 두 용어만이라도 땡겨오는 것이 바람직해보인다.

• [전반] 중·고등학교 ‘기하’(중학교 수학(1~3학년), 기하^{2015 개정} 교과의 내용) 관련 단원의 불균형을 해소할 것(재분산)
• 논거 1: 한 KCI 논문[5]에서도 중학교 3학년에 편제된 ‘논증 기하’ 또는 ‘문제 풀이 역량’이 해당 학년 과정에 지나치게 집중되어 있거나 불균형이 심하다는 점을 지적했다.
• 논거 2: 2015 개정 교육과정 추가 교과인 기본 수학 개발진들의 2015 개정 교육과정에 따른 기초(기본) 수학 과목 시안 개발연구 최종보고서.pdf에 따르면 논증 기하와 해석 기하의 편중성을 분산시키거나 다시 다루는 노력이 필요하다고 시사하였다.(연구 보고서 참조 76p.)
• 논거 3: 고등학교 1학년에 배우는 '수학' 과목은 논증 기하 관련 단원이 생략되어 있다. (주로 해석기하로 편성됨)

• [전반] '경우의 수' 단원 명칭을 '선택과 배열'과 같이 직관적인 명칭으로 변경
• 논거 1: 7차 교육과정 이산수학에서 'Ⅰ. 선택과 배열'이라는 단원 명칭을 쓴 적이 있다. 경우의 수, 순열, 조합 같은 '용어'를 처음 접하는 학생 입장에선 생소해 할 수 있다. 선택과 배열이라는 단원 명칭은 단순 '구해야 하는 것'에서 '쓰임새'로 포커스가 좀 더 직관적으로 맞춰지게 된다.

• [중1] 통계학에서의 '변량'과 '도수'라는 용어는 '집합'과 '함수'를 선행하고 나서 다뤄야 한다.
• 논거 1: 현행 교육과정에서는 중학교 1학년 때 '자료의 정리'를 다루는데, 함수의 정의도 모르면서 변량을 가르치는 건 문제가 있어보인다. 변량은 자룟값과 엄연히 구분되는데 이에 대한 해석 차이를 가르치려면 집합과 함수의 개념이 필요하다. 가령, '4, 5, 5, 3, 2, 2, 2, 2, 2'라는 자룟값이 주어져있다면, 변량은 '2, 3, 4, 5'가 끝이다. 즉, '변량'은 함수에서 '정의역'인즉 집합이기 때문에 중복 없이 나열하는 것이 원칙이다. 여담으로 이 '변량에 관한 각 도수'가 치역의 '각 원소'라고 할 수 있다.
• 보충 의견: 사족으로 정의역의 원소의 형태가 집합으로 나타내어지는 경우도 있는데, 연속변량이나 계급이 여기에 속한다. 2015 개정 교육과정부터는 계급값을 통해 평균 구하기 행동 영역이 삭제되었으나 '계급값' 자체는 여전히 남아있다. 계급값을 아예 삭제하거나, 평균을 구할 때 실제 자룟값에 의한 평균과 계급값에 의한 평균 사이에서 발생하는 차이를 명시해줄 필요가 있다. 계급값을 사용하여 평균을 구해버리면 실제 자료의 값으로 구해낸 평균과 차이가 반드시 발생하기 때문이다.(각 계급의 크기가 0이 아닌 이상 반드시 발생한다.)

• [중1, 중3] 중학교 3학년 때 배우는 대푯값 일부(평균, 중앙값, 최빈값)를 중학교 1학년 과정과 통합한다.
• 논거 1: '대푯값'엔 '평균' 외에도 '중앙값', '최빈값' 등이 있다. 이 둘만큼은 '자료의 정리' 파트에 구성되어야 할 정도로 기초적인 내용인데 이를 중1 과정으로부터 분리하는 게 과연 옳은 구성인가라는 점이다. 물론 '표준편차', '분산'은 제곱근이 필요하므로 이 둘만큼은 제곱근 이후 구성이 바람직하다.

• [고1] '함수의 정의(기초 이론)'과 '초등함수' 파트를 분리한다.
• 논거 1: 보통고중수학과정표준/필수1, 미국 SAT Level 1, 일본 수학 등 선진국 수학 교육과정에서는 '함수 이론(함수의 정의, 표기, 종류, 역함수와 합성함수 등)'과 초등함수(지수함수, 로그함수, 유리함수, 무리함수, 삼각함수) 관련 내용을 분리하여 다루고 있으나, 한국은 함수라는 큰 단원 안에 '함수의 정의'과 '초등함수'를 모두 다루고 있다. 그것도 유리함수와 무리함수만. 이는 A라는 큰 틀을 소개하기 위해서는 a, b, c, d 같은 여러 사례를 나열해야 하는데, a 하나만 제시해서 A=a라는 결론으로 호도할 수 있는 문제점을 야기할 수 있다. 즉 자칫하다가 학생들에게 필요조건을 지나치게 협소화시킬 수 있어 교육적으로 좋지 못한 구성이라는 것이다. 물론 함수라는 중영역 안에 함수이론과 초등함수를 모두 다루는 게 잘못은 아니지만, 초등함수에 '유리함수와 무리함수'만 다루는 게 문제점이다. 원래는 한국에서도 5 ~ 6차 교육과정 당시엔 유리함수와 무리함수 외에도 지수함수, 로그함수, 삼각함수도 후속 중단원으로 배치되어있었다. 그러나 7차 교육과정에선 지수함수, 로그함수가 분리되더니 2009 개정 교육과정부터는 삼각함수가 분리되었고, 지금은 대수적 함수(유리함수, 무리함수)만이 남아있다. 그러다 보니, 애초에 함수의 정의 단원 내에 유리함수랑 무리함수만 다루는 건 사실상 의미가 없어졌는데, 그 이질감을 유지시킨 것이다. 이는 후속 개편자들이 교육과정 개정으로 인해 점차 부분 단원들이 찢겨나간 흔적을 전혀 눈치채지 못했다는 것을 방증한다.
• 논거 2: 한국과학창의재단에서 제안된 연구보고서에 따르면, 실제로 함수의 극한, 연속을 먼저 다루고 '무리함수, 유리함수' 등을 뒷단원으로 빼는 안이 제시되기도 하였다.
• 보충 의견1: '불연속함수'을 평면 좌표 위의 그래프와 개구간, 폐구간의 개념을 도입하여 가르친다.
• 보충 의견2: 고등학교 '함수의 극한'이 '엡실론-델타 논법'으로 엄밀하게 정의하지 않고 배우는 것과 유사한 방식이다. 이미 중학 과정부터 함수를 엄밀하게 정의하지 않는 이상 이 같은 방법을 마다할 이유가 없다.
• 보충 의견3: 부호 함수 [math(\mathrm{sgn}\left(x\right))], 소수 계량 함수 [math(\pi\left(x\right))]를 예로 들 수 있다. 이 두 특수함수는 각각 '부호를 나타내는 표지', '소수의 개수'를 뜻하므로 불연속인 함수이면서 교과과정을 벗어나지 않으므로 다뤄도 무방하다. 지시함수까지 배웠다면 [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}(x))] 같은 완전 불연속 함수(모든 실수에서 불연속)까지 다룰 수 있다.
• 보충 의견4: 만일 유리함수, 무리함수 단원을 분리시킨다면, 기존에 탈락했던 '무리방정식과 분수부등식'을 부활하여 통합 단원을 이루게 할 수도 있다.

• [중1~고1 전반] 함수의 기하학적이고 연속적인 그래프만 ‘함수의 그래프’라고 호도되지 않도록 바로잡는다.
• 논거 1: 막연히 '함수의 그래프'라고 하면 좌표 평면상에 곡선, 직선 같은 것이 그려져있는 것만을 떠올리게 할 수 있다. 하지만 사실 '순서쌍'만으로도 함수의 그래프라고 할 수 있으며, 해석기하학적 그래프만을 함수의 그래프라고 하지 않는다.[6]
• 논거 2: 중학교 ~ 고등학교 1학년 및 미적분을 배우지 않은 예비 학습자들의 경우, '함수의 연속성'을 배우지 않기도 하고, 다항함수 같은 연속함수에만 굉장히 익숙해져 있기 때문에 '수열' 같은 불연속함수[7]를 함수로 받아들이는 데 시간이 걸리는 현실이다. 상위 문단에서 언급했듯이 그래프 자체를 함수라고 인식하는 학생들도 적지 않다.

• [중·고등 전반] 대수학을 꼭 첫 단원으로 다룰 필요가 없다.
• 발단: 매번 교육과정 개편 때마다 '함수'를 비교적 뒷단원에, '방정식과 부등식', '다항식' 등을 비교적 맨 앞 단원에 구성하려고 하는 편인데, 이는 바로 <집합과 명제> 관련 문제들에 '식에 관한 문제'가 응용되기 때문이다. 혹은 다항함수의 정의와의 연계를 위해서로 보인다.
• 논거 1: (<발단>에 이어서) 이는 문제풀이 학습상의 관점에서 볼 때는 일리가 있으나 수학적 관점에서 볼 때는 상당히 이질적으로 느껴질 수 있는 사안이다. 또한 어차피 중학교 때 배운 기본적인 일차, 이차식만으로도 응용 문제는 충분히 출제가 가능하기 때문에 <집합과 명제>를 뒤에 배치한 부분은 다소 합당성이 떨어진다.
• 논거 2: 함수의 정의는 집합만으로 충분히 가능하기 때문에 다항식과는 근본적으로 큰 관련이 없게 배치할 수 있다. 다시 말해 <함수> 단원을 <다항식과 나머지정리> 단원보다 앞단원으로 구성해도 문제가 없다는 걸 인지할 필요가 있다는 것이다.[8]
• 논거 3: 2021학년도 신입생에게 적용되는 <기본 수학> 연구진들의 논문 속 '국가수준 학업성취도 평가' 통계를 살펴보면 의외로 학생들은 대수학에서 학업성취도가 크게 떨어지는 것으로 나타났다. 실제로 기본 수학에서도 이를 반영하여 '경우의 수'를 가장 앞단원으로 배치하였다.

• [고1] 고등학교 과정에서 집합과 함수, 경우의 수, 사건(확률) 관련 용어를 가까이 구성할 필요가 있다.
• 논거 1: 상기했듯이 경우의 수는 집합 단원과 관련이 짙기 때문이다(둘 다 이산수학 분류).
• 논거 2: ‘함수의 개수를 찾으시오.’ 같은 문제가 기존의 함수 단원과 중복되어 등장하는 것을 방지할 수 있다.
• 제시 1-1안: 집합을 먼저 다루고, 함수와 경우의 수를 다룬다. 수형도, 합의 법칙, 곱의 법칙(기존 집합에서 다루던 '부분집합의 개수' 내용을 곱의 법칙의 활용으로써 이동를 다루는 방안도 고려될 수 있다.
• 제시 1-2안: '확률' 파트에 있던 '표본공간'과 '사건' 용어를 대안적으로 빌려 쓴다. 실제로 어떤 사건(부분집합)의 크기가 정확히 '경우의 수'를 의미한다. 전사건, 여사건, 배반사건(교집합이 공집합) 등도 연계해서 다루면 이해가 엄밀해질 것이다.
• 보충 의견: 2009 개정 교육과정부터 '집합과 명제'가 고등학교 1학년 2학기 과정으로 빠지는 바람에 수 체계를 정의할 수 없게 되었는데, 이 상태로 복소수를 학습하는 것은 문제가 있어보인다. 특히 '실수 전체의 집합' 등의 용어로 실함수를 정의하는 데 무리가 발생한다.

• [고1~고2] 고등학교 과정에서 <곱의 법칙>을 선행하고, '다항식' 파트를 다루는 구조라면, <다항식의 전개>를 <이항정리>와 연계할 수도 있다.
• 논거 1: '경우의 수'를 선수 과정으로 다루었다면, 곱의 법칙을 이용하여 '이항정리'를 다룰 수 있다. 실제로 교육현장에선 (a+b)⁴이나 (a+b+c)²의 전개식을 그냥 외우게 한다. 차라리 이항정리를 통해 다항식이 전개되는 원리를 이해시키는 게 훨씬 더 연계 가치가 높아보인다. 근본적으로 '지수'가 뽑는 횟수(=조합)를 의미한다.
• 보충 의견: 시그마를 갖고 이의제기를 할 수도 있겠으나, 이항정리 식은 시그마를 쓰지 않고도 나타낼 수 있다. 애초에 이항정리 식에 시그마가 쓰이는 이유는 그저 용이하게 '표기'하기 위해서 나타낼 뿐이지 시그마가 이항정리의 필수요소라는 것은 전혀 아니다. 실제로 2015 개정 교육과정에서 수학Ⅰ을 배우지 않은 학생도 확률과 통계를 배울 수 있게 되면서 교과서의 이항정리 표기에서도 시그마가 사라졌다.

• [고1] '이차방정식과 이차함수를 분리하고, 이차방정식을 이차함수보다 나중에 다룬다.
• 논거 1: <기본 수학> 연구진들이 실제로 반영하려고 했다가 엎어진 방안.
• 논거 2: 이차함수를 배우려면 이차방정식이 먼저 선행되어야 한다는 발상을 많이들 하지만, 엄밀히 말하면 그 선행 대상은 ‘이차방정식’이 아니라 ‘이차식’일 뿐이다. 이차식의 인수분해나 전개 같은 부분만 배우고 이차함수로 넘어가도 무방하다. 게다가 지수/로그/삼각함수는 전통적으로 '함수'를 먼저 배우고 그 뒤에 '방정식과 부등식'을 '활용' 단원으로 구성해 놓았다.

• [고교 전반] <함수>의 활용 단원에서 나오는 <방정식과 부등식>을 철저하게 분리한다.
• 논거 1: 과거 삼각방정식, 지수방정식 등의 용어를 2009 개정 교육과정부터 교과서에 다루지 못하도록 지침을 내린 바가 있다.(단, 시중 참고서에서는 다루고 있다.) 그런데 여기에 대해서 대체 명칭을 갖다가 '삼각함수에 관한 방정식'으로 해놨다. 그러나 이런 명칭은 오히려 더 전문적으로 성립할 수도 없는 비문에 가깝다.[9]
• 논거 2: 같은 교육 과정인 심화 수학Ⅰ의 '방정식과 부등식' 단원만 봐도 '분수방정식', '무리방정식'은 '분수함수에 관한 방정식', '무리함수에 관한 방정식'으로 쓰이지 않는다. 일관성이 전혀 없다는 뜻이다.
• 제안 1: 대수 관련 후속 단원을 하나 신설하여 삼각방정식, 지수방정식, 로그방정식 등으로 명칭을 회귀시키는 게 올바르다.
• 제안 2: 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 활용 (○○함수에 관한 방정식과 부등식) → 지수방정식, 지수부등식, 로그방정식, 로그부등식, 삼각방정식, 삼각부등식으로 그 용어를 엄밀히 할 것.

• [고2] 호도법에 대해서 설명을 명확하게 해야 한다.
• 논거: 호도법과 관련해서 가장 빈도가 많은 질문이 '호도법을 쓸 때 왜 단위를 쓰지 않는가?'이다. 이는 교과서에서 라디안을 명쾌하게 설명하지 않아서 생긴 것으로, 본래 정의대로 '부채꼴의 호와 반지름이 같을 때 그 호의 길이를 1로 정의'하되, 수학에서는 그 수치만을 취함이라는 것을 강조할 필요가 있다. 이미 몇몇 학자들이 국제단위계의 각도 정의 부분에서 문제점을 지적한 바 있다. 관련 논설문
• 보충 의견 1: 과학과에서는 수학과와는 달리 단위를 명시하는 쪽으로 방향성을 잡을 필요가 있다.
• 보충 의견 2: 삼각함수의 그래프 파트에서 [math(x)]를 [math(x/{\rm rad})]로 변경한다.

• [고1] <원의 방정식> 파트와 <삼각함수> 단원을 붙여놓는다.
• 논거: 삼각함수 파트가 사실 '삼각형'보다는 '원'과 더 밀접하기 때문이고, 실제로 이를 이용해 삼각함수를 정의한다. [math(\boldsymbol{x^2+y^2=1})]인 단위원 위의 한 점으로부터 [math(\boldsymbol{x})]축, [math(\boldsymbol{y})]축에 내린 수선의 발과 원점 사이의 거리는 각각 코사인과 사인의 정의이다. [math([\cos \theta]^2 + [\sin \theta]^2 = 1)]이라는 공식이 나오는 이유가 이 때문이다. 실제로 삼각비와 삼각함수의 차이점을 모르는 학생들이 실로 넘쳐나는데, 위 같이 구성하게 된다면 직각삼각형으로만 지도하던 삼각비와는 명확히 구분할 수 있을 것이다. (실제 삼각함수의 이명은 '원함수'(circular function)이기도 하다.)
• 보충 의견1: 문과가 배울 필요가 없다는 주장이 있는데, 여기에서는 삼각함수의 정의와 그래프까지만 다룬다. 애당초 이 부분은 전통적으로 고1 과정이었기 때문에 수준 논쟁은 불필요하다.
• 보충 의견2: 이과용 삼각함수 파트인 '덧셈정리나 여러 가지 공식, 반각/배각 공식' 등은 이과용 삼각함수에서 별도로 다룬다. 이 부분만 후속 과정으로 분리하면 삼각함수는 문과가 배워도 무방하다. 그런데 일단 중국에서는 이 부분도 문과가 배운다.

• [미적분] 자연로그를 먼저 가르친 뒤 [math(e)]를 소개한다.
• 논거: 사실 '자연로그의 밑 → 자연로그' 순서로 교육하는 건 대한민국에 한정된다. 이에 따라 '자연상수'라는 국내 독자 용어(은어에 가까움)가 생겨난 것이다. 실제로 자연상수는 공식 명칭이 아니다. 세계적인 시류 대로 극한값 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{1}{x} \right)^{x})]을 밑으로 하는 로그를 자연로그라고 먼저 정의한 뒤, '이 값을 [math(e)]라고 한다.'로 끝마치는 것이 바람직해보인다. 교과서에 무리수라고 하니까 단순 숫자열을 외우기만 바쁘고, 어느 정도의 크기인지에만 관심이 있게 되어 그 정의 자체가 어떻게 되는지를 고민하는 학생은 드물다.


• [미적분] 극한의 설명을 엡실론-델타 논법을 고려한 문장으로 변경한다.
• 논거: 현재 교과서에 나오는 '한 점에 한없이 다가간다' 따위의 내용은 유율법을 쓰던 시절의 설명이며, 이 때문에 0.999…=1이라는 명제에 대해서 소모적인 논쟁을 일으키고 있는 실정이다. 교육 수준상 엡실론-델타 논법의 전체 내용을 가르치기는 곤란하더라도, 전술한 '한 점에 한없이 다가간다'를 '한 점에 매우 가까운 거리에 있는 임의의 값을 취할 수 있다' 정도로만 표현해도 극한에 대한 혼동이 덜할 것이다.
• 보충 의견: 엡실론-델타 논법 문서에서도 볼 수 있는 아래의 그래프를 활용해 직관적인 설명을 할 수도 있다.
  

2. 내용 강화 · 추가(재포함) 제안

• [중2] 산점도를 저학년 과정으로 내리고 '적합선' 개념을 추가한다.
• 논거1: 이화여대 교육대학원 이문경(2020, 연구 논문)
• 논거2: 2015 개정 교육과정 중학교 수학 통계 영역에서 산점도를 다시 재포함하였으나 다소 실용적이지 못하므로 학생들에게 유의미한 연계활동이 필요해보인다는 지적이 있다.
• 보충 의견1: 일차함수의 기하적 그래프와 연계한다.
• 보충 의견2: 후속 과정에서 이차함수의 기하적 그래프를 배울 때에도 소개할 수 있도록 한다.

• [중2] 삼각형, 사각형 파트에 쌍대를 추가한다.
• 논거: 도형을 다루다 보면 각 변의 중점을 이은 도형이 등장하기도 하는데 정작 여기에 대한 성질을 제대로 다루지 않는다. 그래서 닮음 등과 연계해서 쌍대라는 개념을 가르칠 필요가 있다.

• [중3] 곱셈 공식 파트에서 1학년의 꿈(수학 용어)을 명시하거나 관련 주의사항 코멘트를 추가한다.
• 논거: 곱셈 공식으로 계산하는 과정 중 [math((x+y)^n = x^n+y^n)]로 계산하는 실수가 상당히 잦을 수 있으므로 이에 대한 유의 사항이 필요해보인다.
• 보충 의견1: 1학년의 꿈은 [math(n \neq 1)]인 모든 [math(n)]에 성립하므로 제곱근 파트에서도 언급해야 한다.
• 보충 의견2: 통분을 염두에 둔다면 초등학교 수학에 나오게 할 수도 있다.
• 보충 의견3: 다만 '1학년의 꿈'이라는 용어 그대로 명시지화 하는 것은 어색하고[10] 직관적이지 못하므로 적절한 이름으로 대체하여 가르쳐야 할 것이다.

• [함수 그래프] 시그모이드 곡선 개형을 중학 과정, 고등학교 과정에 한 번씩 다루어 인식시킬 필요가 있음.
• 논거 1: 학생들이 떠올릴 수 있는 변화 추이는 고작 비례, 반비례, 폭발적인 증가/감소(지수/로그함수), 주기(삼각함수)와 같은 단조로운 느낌밖에 없다. 시그모이드 곡선을 다루어, 갑자기 급격하게 증가했다가도 또다시 일정해지는 양상을 인식시켜줄 필요가 있다. 이러한 추이를 가르쳐주면 학생들의 수학적 의사소통을 넓힐 수 있다.
• 논거 2: 딥 러닝뿐만 아니라 인구 증가의 패턴, 생물의 성장 같은 실생활적인 내용. 그밖에 물리학에서 다루는 광전효과, 전자공학을 이해하는 데도 도움이 된다.
• 보충 의견 1: 다만, 여러 가지 복잡한 함수식까지 다루는 것은 본질적인 목표에서 벗어나므로 심화과정이 아니면 가급적 자제한다. 다루더라도 자연계열 전용 교과 '미적분'에서 로지스틱 함수 정도를 추가하는 선으로 한한다.
• 보충 의견 2: 초등함수 가운데 시그모이드 곡선 개형인 함수는 [math(\arctan)], [math(\tanh)] 단 둘뿐이므로, 해당 단원에서 소개하는 것이 적당해 보인다.
• 보충 의견 3: 시그모이드(S자 꼴)가 학생들에게는 생소하게 여겨질 수 있으므로, '둥근계단함수'[11], '미끄럼틀함수' 등의 번역어로 제시하는 안도 생각할 수 있다.

• [고1] 집합을 중학 과정으로 복귀되었다면, 기존의 <실수와 수 체계> 단원을 복귀시킨다.
• 발단: 수 체계는 보통 집합으로 설명하는 것이 용이하지만, 현 교육과정에는 집합 내용이 빠져버리는 바람에 엉성한 형태로 복소수를 학습하게 된다. 다시 실수와 복소수 등 수 체계에 관한 것을 전반적으로 다룬다.
• 보충 의견1: 수직선 위에 빠짐없이 채워질 수 있다는 완비성(Completeness)이라는 용어를 추가한다. 이게 선수되어야 나중에 연속함수를 정의할 수 있다.
• 보충 의견2: 집합에 대한 10개의 공리를 집합 단원 초반에 추가한다. 이 10개의 공리는 문장으로 풀어 쓸 수 있기 때문에 중고교과정에 넣어도 큰 문제가 없다.

• [고1] 부등식의 영역을 복귀시킨다.
• 논거 1: 부등식의 영역은 좌표평면 위 특정 영역을 대수적으로 표현할 수 있는 방법을 제시하고, 이와 관련된 여러 문제들을 해결할 수 있는 역량을 기르는 데 도움을 준다. 대수적인 문제를 기하적으로, 또 그 역으로 사고하는 능력을 함양하는 데 큰 도움이 되는 학습 내용임을 감안해야 한다.

• [고1] 절댓값을 가르칠 때 부호 함수도 같이 서술한다.
• 논거 1: '수에서 부호를 없애는 것'이 절댓값이라는 것은 배우지만, 정작 '수에서 부호만을 남기는 방법'을 모르는 이들이 많아 급수 및 점화식을 세울 때 애로사항이 생긴다. 그러므로 절댓값 파트에 부호 함수 [math(\mathrm{sgn}(x))]을 같이 서술한다.
• 논거 2: 정의가 '양수일 때 1, 음수일 때 -1, 0일 때 0을 내놓는다'라는 간단한 내용이므로 교과 수준을 벗어나지 않는다.
• 논거 3: 복소수 파트에서 '복소수의 절댓값'을 배울 때에도 부호함수 내용을 추가한다. 여기서 실수에서의 부호함수와 차이점을 가르친다.
• 논거 4: 미적분 파트에서 절댓값 함수의 미분, 적분법을 부호함수와 연계해 가르친다. 숱한 참고서나 수학 관련 블로그 등에서 절댓값 함수의 미분가능성을 이야기하는데 이는 부호함수의 존재를 몰라서 그러는 경우가 상당수이다. 달리 말하면, 부호함수를 도입하면 일반적인 다항식과 크게 달라지지 않는다는 점[12]이나, 절댓값을 씌운 함수의 역도함수가 있음[13]을 가르칠 필요가 있다.
• 보충 의견1: 부호 함수에서 유도할 수 있는 헤비사이드 계단 함수를 소개한다. [math(x=0)]일 때의 값은 다수론인 [math(\dfrac12)]로 한다.
• 보충 의견2: 다루게 된다면 복소수용 부호함수인 [math(\mathrm{csgn}(z))]도 소개할 필요도 고려한다.
• 보충 의견3: 단, 절댓값의 이계도함수인 디랙 델타 함수는 교육 과정을 벗어나므로 다루지 않는다.[14]

• [고1] <벡터>나 <행렬>의 기초적인 내용 정도는 문·이과 막론하고 필수로 교육한다.
• 논거 1: 이 문서의 3.3.1 문단에서도 언급했듯이 동아시아 교육과정에서 벡터를 문이과 필수로 배우지 않는 나라는 대한민국밖에 없다. 중국, 홍콩, 대만 등은 벡터를 정규 필수 교육 과정에 편성하고 있으며 당장에 가까운 나라인 일본만 해도 '벡터'가 문이과 막론하고 입시 시험에 출제된다.
• 논거 2: 이는 스칼라와 벡터의 구분을 가르치기 위해서이기도 하다. 특히 공통과학 역학 파트 초반에 등장하는 '거리(스칼라)와 변위(벡터)', '속도(벡터)와 속력(스칼라)'의 개념 차이를 각인시키기 위해 당연히 배워야 하는 것으로 인식된다.
• 보충 의견1: 다만, 벡터의 대수학적 개론에 초점하여 다룬다. 도형 같은 것을 응용하면 학습 부담감이 커지기 때문이다. 덧셈과 상수배, 전치, 내적[15] 정도만 다루고 행렬곱, 행렬식, 역행렬 등은 고등학교 과정으로 남겨둔다.
• 보충 의견2: 벡터라는 용어가 생소하게 느껴진다면 '선그림'(국립국어원) 등으로 자문을 통해 순화어로 가르치면 된다.
• 대안: 나선형 교육과정에 입거하여, 노력만 한다면 '벡터' 정도야 중학교 과정에도 편성할 수도 있다. 대신에 이를 아주 친숙하게 받아들여질 수 있도록 (속임법으로) 교육할 필요가 있다. 생소할수록 반복할수록 학습 효과가 커지기 때문이다.
• 보충 의견3: 내적을 반쌍형적 형식으로 정의한다. 선수 과정에서 켤레복소수를 배우기 때문에 실벡터의 내적을 따로 배울 필요가 없다. 위의 중학교 과정에 벡터를 도입하는 것과 엮어서 생각하자면, 현행 교육과정의 쌍선형 내적을 중학교 과정에서 다루고 고등학교 과정에서 반쌍형 내적으로 일반화하는 것으로 다룰 수도 있다.
• 보충 의견4: 교환자를 추가한다. 교환자는 교환법칙의 불일치도를 나타내는 이항연산으로, 덧셈과 곱셈만으로 정의할 수 있기 때문에 다뤄도 무방하다.

• 사분위수와 상자 그림 추가를 고려한다. (→ 실제 2022 개정 교육과정 때 최초 도입)
• 논거: 상당히 실용적이다. 사분위수와 상자 그림은 대다수의 통계학 입문 서적에 줄기와 잎 그림 바로 다음으로 다룰 정도로 기초적인 파트이다. 통계 자료를 보다 보면 이런 그림을 자주 접한 적이 있을 것이다. 이는 특히 주식이나 여론조사, 경제 관련 그래프에서도 굉장히 많이 다루기 때문에 실용적이기도 하다. 2015 개정 교육과정에서 복귀된 상관계수는 사실상 너무나도 당연한 내용들이기 때문에 직관적으로 이해할 수 있어서 추가에 의의가 없어보인다. 차라리 실생활에서 자주 다루는 '사분위수'를 추가하는 게 더 괜찮아보인다는 아쉬움이 있다. 여담으로 2022 개정 교육과정에서 최초로 추가된다. 나무위키에 제안된 내용 중에선 유일무이하게 추가된 내용이다.[16]

• [미적분] 자연로그를 정의할 때 쓰이는 함수를 상세화한다.
• 논거 1: 함수 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}})]와 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x})]의 기하학적 그래프를 다루면 직관적인 이해가 가능하다.( 해당 문서 참조. ) 함수 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}})]의 그래프와 함수 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x})]의 그래프의 개형을 보여준 뒤 이를 '함수의 연속', '함수의 극한', '그래프의 점근선'과 연계시켜 서술하면 쉽게 이해시킬 수 있지만, 아쉽게도 현 교육과정은 그저 수식적 서술로만 끝내는 것에 그친다.
• 논거 2: 해당 내용은 (일반적인) 로그함수의 극한이라며 오해하는 경우도 있다. 그러나 이 함수는 특정 합성 지수함수에 로그함수가 또 한 번 합성된 복잡한 합성함수[17]의 극한을 다루는 것이다. 겉은 로그지만 속은 지수식이고, 그마저도 일반적인 지수식도 아니므로 합성함수로 보는 게 타당하다. (대다수의 학생은 인지하지 못하고 있다.)
• 보충 의견1: (일반적인) '로그함수의 극한'과 '자연로그' 단원(후속 과정)을 분리하여 다루는 것이 낫다. 차라리 극한과 연속을 먼저 다룬 뒤 지수함수와 로그함수의 그래프를 다룬 뒤, 이 과정에서 극한을 연계하여 점근선의 개념을 명확히 해줄 필요가 있다.
• 보충 의견2: 소수 계량 함수와 소수 정리를 간략하게 서술할 필요가 있다. '일반적인 로그함수의 극한'을 다룬다면 빼놓을 수 없는 내용이다.[18] 물론 자연로그가 소수의 개수와 관련이 있다고까지만 언급해야 하며 그 이상의 내용은 중등교육 과정을 벗어나므로[19] 서술 시 주의해야 한다.
• 보충 의견 2에 대한 반론: 이들은 상술했듯이 다루기에 애매한 부분이 많으며, 이걸 고등학교에서 다루겠다면 서술할 수 있는 내용은 "해당 함수가 [math(x/\ln x)]로 근사된다고 알려져 있다." 뿐. 이런 독립적인 수학 개념을 하나 더 안다고 수학 실력이 느는 게 아니다. [20]
• 보충 의견3: 오일러-마스케로니 상수를 소개한다. 이것은 반비례 관계의 그래프와 로그함수 그래프의 차를 뜻하는 극한값[21]으로, 역시 로그함수의 극한을 다룰 때 나름대로 비중있게 다룰 수 있는 내용이다.
• 보충 의견 3에 대한 반론: 오일러-마스케로니 상수 문서에서 알 수 있듯이, 이건 고등학교 과정을 한참 벗어난 내용이다. 당장 [math(1/k)]의 무한급수가 발산한다는 것을 제대로 보이기 위해선 오렘의 증명[22]

• <우함수(짝함수)>, <기함수(홀함수)>, <주기함수>, <매개변수로 정의된 함수>, <최대 정수 함수> 등을 정규 과정으로 편성한다.
• 논거 1: 최대 정수 함수는 뒤에 나오는 상용로그를 심화 설명하거나[23] '함수의 불연속'을 설명할 때 용이하다. 주기함수나 매개변수 등도 삼각함수나 이차곡선과 연계된다.
• 논거 2: 적분 파트에서 최대 정수 함수를 이용해 수열의 합을 적분으로 바꾸어 쓸 수 있음[24]을 소개한다.
• 논거 3: 함수의 합성 파트에서 멱등함수를 소개하며, 최대 정수 함수를 예로 든다.
• 보충 의견1: 우함수와 기함수는 정적분과 연계돼서 당연히 정식 교과과정인 줄 착각하는 사람들이 많은데, 놀랍게도 현재까지 정식적으로 교과 과정에 포함된 적이 없다.
• 보충 의견2: 우함수와 기함수는 '집합으로 함수 정의하기' 파트에서 다룬다. 여기서 주요 성질을 다루어야 이후 과정에서 혼동이 적다.
• 보충 의견3: 가우스 정수를 소개한다. 또한 복소수에 최대 정수 함수가 적용될 수 있음을 익힌다.

• 2009 개정 교육과정에서 빠진 '분수방정식, 무리방정식 재포함한다.'
• 논거: 학생들이 치환, 제곱 등의 과정에서 '무연근'이 발생할 수도 있다는 예외적인 사례도 존재할 수 있다는 것을 알 필요가 있다. 현재는 고급 수학1에서 다룬다.

• 6차 교육과정이후 빠진 '복소평면'을 재포함한다.'
• 논거 1: 복소수가 단순한 방정식의 근이 아니라 더 나아가서 평면위의 점, 위치벡터를 표현하는 유용한 방식이라는 것을 알면, 삼각함수나 벡터를 더 깊이 이해할수 있고 점의 회전도 다룰 수 있다.
• 논거 2: 덧붙여서 고1 과정 수학에서 원의 방정식과 삼각함수의 정의 및 기본성질을 다루면서, 바로 복소평면과 극형식을 도입하고 복소수의 곱셈이 닮음과 회전을 의미한다는 것을 기하학적으로 교과서에서 끌어낸다면 삼각함수의 덧셈정리같은 삼각함수의 응용 내용들을 바로 유도 할 수 있다.
• 논거 3: 선진국중에서 복소평면을 가르치지 않는 나라는 매우 드물다.
• 보충 의견: 다색 복소평면을 다룰 때 아래의 알록달록한 이미지를 접할 경우가 많은데, 이를 보는 방법을 1의 세제곱근과 연계해서 가르칠 필요가 있다.
  

• [전면 개편] 진로선택과목 ‘기하’ 교과를 유지하거든 그에 걸맞은 과목으로 복귀·상향한다.
• 논거 1: 미국수학교사회(NCTM, 1920)에서 제시된 <학교수학의 교육과정과 평가의 표준>에서는 기하 영역 가운데 ‘해석기하학적’, ‘변환기하학적’, ‘벡터기하학적’, ‘비유클리드 기하학적’ 측면 등 다양한 기하학 학습 관점을 절충적으로 다룸으로써 학생들에게 문제 상황에 따라 적합한 기하학적 방법과 개념을 효과적으로 적용할 수 있는 능력을 길러 줄 것을 요구하고 있다.[25]
• 2015 개정 교육과정 기하 과목의 전신이었던 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터(2007)은 그래도 비유클리드 기하를 제외한 ‘벡터기하학적’(평면 벡터, 공간좌표), ‘해석기하학적’(이차곡선), ‘변환기하학적’(일차변환과 행렬), ‘유클리드 기하’(공간도형)를 모두 다루어서 차라리 그 시절이 오히려 ‘기하’라는 단일 작명이 어울렸을 것이다. 그러나 두 번의 개정을 거듭한 이 과목은 각 관점의 내용이 매우 허술[26]하다. 그나마 있던 '변환기하학' 내용마저 날려버렸으며, 벡터기하학은 '공간 벡터'를 삭제시킴으로써 그 기초 허들이 매우 낮아졌다. 그나마 자연계 필수로 가르치던 것마저 이젠 입시 필수 범위에서 필연 3자1택으로 영향력을 떨어뜨리는 등의 행보를 보여 무의미해졌다. '기하'보다는 '미적분과 통계 기본' 마냥 '해석기하와 벡터 기본'가 더 구체화한 작명 면에선 낫다고 볼 수 있겠다.
• 논거 1에 대한 제안 1: 벡터를 '선형대수학' 관점과 '기하학' 관점이 있다는 사실을 명시해야 한다.
• 논거 1에 대한 제안 2: <학교수학의 교육과정과 평가의 표준>을 그나마 잘 지켰던 2007 개정 교육과정의 기하와 벡터(2007)의 단원 구성으로 되돌릴 필요가 있다. 각 표준 하위 영역을 균형화 작업을 하여, 해석 기하 영역을 좀 더 심화·보충하거나, 비유클리드기하 영역을 새롭게 추가할 필요가 있다.
• 보충 의견 1: 이차곡선을 진로과목인 기하에 남겨두고자 한다면 극좌표를 살짝 다루며 이심률을 통해 정의될 수 있음을 설명하는 방법이 있다. 애초에 극좌표 자체가 명시적으로 설명은 안 돼 있지만 수1 '삼각함수' 단원 맨 처음에 나오는 부분이기도 하고, 미적분의 매개변수 함수에도 나오는 부분이기에 그다지 낯설지 않겠지만, 그 활용도는 어마어마하기 때문이다. 따라서 학생들이 개념의 쓸모를 느끼기에도 좋을 것이다.
• 보충 의견 2: 1의 의견을 따를 경우 어디까지 다룰 것인가가 문제이다. 상술했듯이 극좌표는 활용범위가 어마어마해서, 이차곡선뿐만 아니라 평벡, 공벡 모두와 깊은 연관성을 보이는데, 이걸 이차곡선에서만 설명하고 끝낼 것인가, 혹은 기하의 전 단원과 연계시킬 것인가가 문제이며, 후자의 경우 내용이 지나치게 많아질 우려가 있으며[27] 전자의 경우 규격이 없다고 비판받을 여지가 있다. 절충점을 찾는 것이 중요해 보인다.

• <행렬>과 <공간 벡터>를 이과 필수 과정으로 재포함시킬 필요가 있다.
• 논거 0: 솔직히 이건 이유조차 말해주는 게 실례일 정도로 우스운 논제다.
• 논거 1: 공과대학, 자연과학대학에서의 행렬의 위치를 고려하여 재포함이 논의되어야 한다. 실제로 행렬의 경우는 벡터와 함께 선형대수학의 필수요소인데, 선형대수학이 공과대학, 자연과학대학에서 얼마나 중요한 위치에 놓여 있는지는 더 이상 말할 필요가 없다. 다만, 지난 교육과정처럼 뜬금포 수준으로 다루기보단[28] 2009 개정 교육과정 기준 고급 수학Ⅰ처럼 벡터와 엮어서 정식적으로 다룰 필요가 있다. 실제로 2015 개정 교육과정 회의에서 일반선택과목으로 재포함시키고자 한 적이 있다가 무산된 바가 있다. [참조]
• 논거 2(전문가의 의견 인용):
  
  행렬과 같은 부분은 아예 단원 자체를 들어내는 것보다는 조금이라도 소개하는 식의 내용 경감이 필요하지 않을까 생각한다. 많은 공부를 하지 않아도 지금 하나를 들으면 나중에 또 공부를 할 때는 둘을 아는 것처럼 느껴져 훨씬 더 쉽게 느껴지게 되기 때문이다. (중략) 일반적으로 특정 주제 전체를 삭제하는 결정을 하는 것보다는 다른 방향으로의 내용 삭감을 하는 것을 고려하는 것이 바람직하다고 생각한다.
  
  

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  장정욱 (단국대학교 사범대학 수학교육과 교수) 2015. 7. 31.
• 보충 의견1: 행렬과 벡터를 간단히 다룬 뒤 벡터 단원 하위에 평면 위의 벡터의 활용이라는 단원을 구성한다. 여기서부터 그전에 배우던 그 '평면 벡터'와 유사하다.
• 보충 의견2: 삼각함수가 선수되어야 한다. 내적 파트에서 코사인을 다루기 때문이다.[30] 다만, 평면 운동 파트는 미적분을 배워야 할 수 있으므로 후속 과정에서 다룬다.

• [미적분] <정적분의 활용> 단원 강화를 고려한다.
• 논거 1: 회전체의 부피를 고급 수학으로 차출시켰으면서 정작 일반 입체의 부피는 남겨놨는데, 사실상 이 일반입체의 부피에다가 중학교 때 배웠던 회전체를 엮어서 단면이 원이 되게 하면 회전체의 부피와 근본적인 차이가 없기 때문에, 이게 빠진 건 사실상 의미가 없다. 즉 일반입체를 통해서 2009 개정 교육과정 기준으로도 회전체를 잘만 시험 문제에 낼 수 있는 것이다.
• 제안 1: 2009 개정 교육과정 때 빠졌던 '회전체의 부피'를 복귀시킨다.
• 제안 2: '질량중심과 모멘트'를 추가한다. 거의 모든 이공계 학과 1학년 때 필수로 배워야 하는 일반물리학(특히 건축공학과, 기계공학과)에서 등장하기 때문. 그리고 모멘트는 화학이나 지구과학에서도 쓰인다. 실제로 수준도 낮은 편에 속한다. 일변수함수와 시그마, 정적분으로만 설명되기 때문에 심화 미적분에 없던 게 의문일 정도로 내용이 쉽다. 게다가 물리학 2의 역학적 평형과 돌림힘 파트에서 다루기도 하고, 실제로 수능 문제(舊 물리1)가 이 파트를 스킬 삼아 풀어냈었고, 중3때 배운 무게중심과 구분지어줘야 하기 때문에 정규 고교 과정 편성이 필요해보인다. 심지어 초월함수조차 쓰이지 않아서 다항함수의 적분법 - '정적분의 활용' 파트에 놓아도 문제가 없다.
• 제안 3: 리시 방법을 소개한다. 초등함수의 역도함수가 초등함수일 경우 쓸 수 있는 공식으로, 정적분 단원 말미에 배치한다.

• [해석기하] 삼각함수 내용 말미에 역삼각함수를 추가한다.
• 논거 1: 역함수 관계인 '이차함수 - 무리함수', '지수함수 - 로그함수' 관계까지 배웠는데 삼각함수의 역함수 정의를 하지 않는 것은 맞지 않는다. 최소 [math(\sin, \cos, \tan)]에 대한 역함수 [math(\arcsin, \arccos, \arctan)]를 가르칠 필요성이 있다.
• 논거 2: 다른 선진국(특히 미국)의 중등 교육과정에서 가르치는 내용이다.
• 논거 3: 역삼각함수는 삼각치환이나 복소수나 물리학과 연계되는 내용이기도 하다.
• 논거 4: 2015 개정 교육과정 '심화 수학 I' 과목에 역삼각함수의 정의와 도함수에 관한 내용이 서술되어 있다. 이 내용을 일반 선택 과목으로 옮기는 것이 하나의 해결 방안이 될 수 있다.
• 보충 의견1: 함숫값이 일대일 대응인 것을 염두에 둔다면 삼각비 파트에서부터 다룰 수도 있다(일명 역삼각비). 교과과정상 특수각과 특수 비율로만 정의되니 그 역관계를 쉽게 정의할 수 있다.[31]
• 보충 의견2: 중학교 수학의 원 단원에서 활꼴의 둘레만 빠져 있는데, 활꼴의 둘레에 역삼각함수가 들어가기 때문이다. 보충 의견 1에 따라 역삼각비를 도입하면 특수각 한정이지만 활꼴의 둘레도 다룰 수 있다.

3. 내용 약화 · 삭제 제안

• 대분수를 삭제한다.
• 논거: 가분수를 대분수로 바꿔 표현하는 교육은 초등학교에서만 다루며, 장차 학생들에게 더 혼란만 부추기게 만들기만 한다. 예를 들어, 가분수를 대분수로 표현할 땐 [math(\dfrac{39}{4} =)][math(9dfrac{3}{4})]이라고 표현하지만, 나중에 중학교에 진학하여 '문자간 곱셈'의 생략을 배우면서 [math(9\dfrac{3}{4})]이 [math(9+\dfrac{3}{4})]인지 [math(9\times\dfrac{3}{4})]인지 혼란이 오게 된다는 점이다. 대분수는 덧셈이 생략된 경우이므로 전자가 맞다.
• 해결 1안: '가분수'만을 다룬다.
• 해결 2안: '정수' + '진분수' 꼴로 표기를 변경하여 다룬다.

• 벤 다이어그램을 증명에 쓸 수 없음을 가르친다.
• 논거 1: 함수를 정의할 때 벤 다이어그램을 쓰는 것도 '이해'라는 관점에선 타당하겠지만, 극도의 순도성을 추구한다는 면에서 볼 땐 엄밀한 방법이 아니다. 그 중에서도 '전체집합'은 명백히 러셀의 역설에 의해 인정되지도 못하는 개념이다. 자세한 건 집합 문서 참조.
• 논거 2: 벤 다이어그램은 본래 논리학에서만 쓰이던 도식이고, 벤 본인도 수학을 염두에 두고 이 아이디어를 창안하지 않았다고 한다. 그런데 이후 현대수학에서 집합론이 대두되자 벤 다이어그램을 차용하였는데, 차이점이 생기고 만다. 자세한 건 벤 다이어그램 문서 참조.[32]
• 대안 1: 그래도 벤 다이어그램은 쉽게 직관적으로 이해시킨다는 목적에서만 볼 때 벤 다이어그램의 쓰임새가 긍정될 수는 있겠다. 하지만 수학적으로 증명한다거나 다른 수리 논증의 증명에 활용될 수는 없는 개념이다. 교육부가 벤 다이어그램을 버릴 수 없다면, 경고 문구로 대체할 수 있다. ‘집합의 개념을 쉽게 도식화하기 위해 논리학의 도구를 빌려온 것’, ‘엄밀하게는 증명엔 활용될 수 없음’이라는 문구를 넣어둘 필요가 있겠다. 일반인들이 수학자들이 사용하는 형식논리로만 모든 것을 정의하고 증명해야 하는 것은 아니지만, 벤 다이어그램을 통해 '증명'하라는 기존의 예제나 문제는 학술적으로 문제가 있다.

• 실용수학 폐지 또는 개편
• 논거: 실용수학은 그야말로 '급조해서 짜깁기한' 수준이라고 부를 수 있을 정도로 '실용'과는 상당한 괴리가 있다.
• 대안: 교과를 폐지하지 않는다면 실생활에 요긴하게 쓸 수 있을 만한 내용으로 대폭 수정이 되어야 할 것이다.
• 대안 예시
• 이산수학 파트를 신설하여 시행착오법, 순열과 조합을 다루도록 한다.
• 행렬 파트를 추가한다.
• 불 대수를 신설하여 논리 연산자, 드 모르간 법칙 등을 다룬다.
• 전자계산기와 같은 연산기기의 발명과 수학사를 다룬다.
• 간단한 전자계산기 사용법을 가르친다.[33]

4. 표기와 용어 수정

• 분수와 나눗셈 기호 통합, 대분수 폐지
• 논거: 학생들뿐만 아니라 많은 사람들이 [math(n)] 분의 [math(1)]을 쓸 때 [math(n/1)]이라고 적는 오류를 범한다. 즉 [math(\div)]가 [math(/)]와 같은 것임을 전혀 인지하지 못해서일 가능성이 제기되었다. 또한 더 이상 수학 표준 기호가 아니게 된 나눗셈 기호 [math(\div)]를 버리고 과감히 [math(/)]로 변경해 기존 틀을 깨는 것도 고려해볼 만 하다. 또한 대분수 표기를 폐지하고 정수+진분수 꼴로 표기하는 것으로 가르친다. 상술했듯 대분수가 중학교 수학 과정에서의 곱셈과 혼동을 일으킬 수 있기 때문이다.



[math(7\div 3 =\dfrac{7}{3} = 7/3 = 2+\dfrac{1}{3} \neq 2 \dfrac{1}{3})]

• 제시안: (표제어와 동일) ÷와 / 기호를 통일하고, 대분수 대신 정수+진분수 꼴로 표기를 변경한다.

• 유리수와 무리수를 각각 '유비수(有比數)'와 '무비수(無比數)'로 개칭한다.
• 논거: 해당 문서 참조.
• 보충 의견: 화학의 경우 대한화학회가 화학술어 명칭을 제대로 개정한 적이 있고 이를 2009 개정 교육과정에서 첫 적용하였다. 이미 교육과정에 사례가 있으므로 '이미 입에 익은 표현이어서 바꿀 수 없다.'라는 주장은 상당히 수구적인 태도이다. 당연히 유리함수와 무리함수도 각각 유비함수와 무비함수로 개칭한다.

• 양함수와 음함수를 각각 '드러난함수'와 '숨은함수'로 개칭한다.
• 논거: 원어명이 각각 Explicit function/Implicit function으로, 노골적인/내재적인이라는 뜻이다. 이를 양함수/음함수로 옮긴 것은 전혀 성질이 다른 양수/음수와 비슷한 것으로 혼동하는 오개념을 부추기고 있으므로 정확한 명칭으로 바꿀 필요가 있다.

• 가비의 이를 '분수식의 덧셈법칙' 등으로 개칭한다.
• 논거: '가비의 이'는 일본식 한자어 [ruby(加比, ruby=かひ)]の[ruby(理, ruby=り)]를 그대로 한국 한자음으로만 옮긴 말로, 한국인에게는 직관적이지 않다. 그러므로, 우리말에 맞게 개칭할 필요가 있다.

• ‘무리수 [math(e)]’를 ‘극한값 [math(e)]’ 또는 ‘상수 [math(e)]’로 교육한다.
• 논거: 중·고등학교 수학교육과정 내에서 [math(e)]가 무리수라는 건 별로 중요한 과제가 아니며, 그게 무리수인지, 초월수인지를 증명하는 과정은 고등 과정 밖이다. 따라서 극한값 [math(e)] 또는 상수 [math(e)]로 가르치는 것이 타당해보인다.

• <삼각함수>와 <삼각식>을 엄연히 구분한다.
• 논거: '삼각함수 문서'의 여담 항목 참조.

• 구분구적법 없이 ‘정적분’ 개념을 정의할 때는 ‘미적분학의 기본정리’보다는 ‘부정적분의 함숫값의 차’로 명시할 것.
• 논거 1: 한 KCI 등재 논문에 따르면[34] <미적분>에서 ‘정적분’ 개념을 정의할 때 ‘미적분학의 기본정리’보다는 ‘부정적분의 함숫값의 차’로 명시하는 편이 낫다고 여긴 듯하다. 이 표현을 구체적으로 제언하였다.
• 논거 2: 실제로 ‘미적분학의 기본정리’는 학문상에 알맞을진 몰라도 교육상으로 너무 추상적이고 뭉뚱그린 명칭이다.[35]

• ‘정적분과 급수의 합 사이의 관계’를 ‘곡선과 x축 사이의 넓이’보다 앞 순서에 구성할 것.
• 논거: 한 KCI 등재 논문에 따르면[36] <미적분> 교과의 중단원 ‘정적분의 활용’에서 ‘정적분과 급수의 합 사이의 관계’가 ‘곡선과 x축 사이의 넓이’보다 앞 순서에 와야 자연스럽다는 결론을 내렸다.

• 기호를 통일하거나 새로운 기호를 알려준다.
• 기호 통일
• 최대 정수 함수의 표현을 [math(\lfloor x \rfloor)]로 통일할 필요가 있다. 현재는 일반적 괄호 용법 및 폐구간, 1차 정사각행렬과 같은 꼴인 [math([x])]를 쓰기 때문에 대학 과정에서 혼란이 있다.
• 중복순열의 개수를 [math(n^r)]로 통일해야 한다. [math({}_n \Pi _r)]은 수열의 곱셈과 혼동할 수 있을 뿐더러 과거 일본에서 사용하였고 현재는 대한민국에서만 사용하는 갈라파고스화된 표기이다. 2015 개정 교육과정에서는 이 둘을 같다고 병기하여 표시하고 있지만 해당 표기가 완전히 사라지지 않았다.
• 마찬가지로 조합과 중복조합 표기도 각각 [math(\dbinom nr, \left(\!\!\dbinom{n}{r}\!\!\right))]로 통일한다(다만 현행 교육과정의 [math(_{n} \rm C \it _{r})] 기호도 덜 쓰여서 그렇지 국제적으로 쓰이는 기호이다). 행렬과 혼동할 수는 있겠지만 대학 과정에서는 보통 행렬 표현에 대괄호를 쓰니 큰 문제는 없다. 그래도 불안하다면 행렬 표현을 대괄호로 바꿔버리면 그만이다.
• 집합의 크기를 [math(|\cdot|)]로 통일한다. 현행 표기법인 [math(n(\cdot))]는 한국의 중등교육과정 외의 사용례가 없는 갈라파고스화된 표기이다.
• 닮음과 합동을 각각 [math(\sim)], [math(\cong)]로 통일한다.
• 여집합의 기호를 [math(\complement)]로 통일한다.[37] 소문자 c로 표기할 경우 상수나 [math(C)]로 표기된 다른 집합과 혼동할 수 있기 때문이다.
• 소수의 표기를 국제단위계 기준[38]으로 통일한다. 초등학교 수학에서의 소수 파트는 측정과 상당히 연계되어 있고, 이는 이후 교과의 과학 과정과도 엮이기 때문이다. 현재 쓰이는 관행적 표기[39]는 일러두기로 한다.
• 상용로그의 표기를 [math(\operatorname{lg})][40]로 변경한다. 국제표준화기구에서 ISO 31-11로 권고하고 있는 사항이다. 참고로 자연로그는 교과과정에서 [math(\ln)]으로 표기하고 있으므로 ISO 31-11을 잘 준용하고 있다.

• 일러두기
• 공집합의 표기를 [math(\emptyset)]로 변경하거나 기존의 [math(\varnothing)]를 각도를 나타내는 [math(\phi)]표기와 다르다는 것을 일러둔다.
• 복소수의 실수부, 허수부 표현에서 [math(\Re (z) = \mathrm{Re}(z), \Im (z) = \mathrm{Im}(z))]를 일러둘 필요가 있다. [math(\Re, \Im)]은 수학 논문에서 자주 보이는 형태이기 때문. 물론 [math(\mathrm{Re} (z))] 및 [math(\mathrm{Im} (z))]도 전공 서적 및 학계에서도 꽤 자주 사용하는 표기이기에 무조건 바꿔야 할 표기는 아니다. (다만, 고급 수학의 '복소수와 극형식' 파트에서는 서술되어있다.)
• 적분상수의 표기를 [math(\sf const.)]로도 쓸 수 있음을 일러둔다. [math(C)]가 틀린 것은 아니지만, 식에 이미 [math(C)]나 [math(c)]가 있을 경우 혼동할 수 있기 때문.

[1] 이는 함수가 아닌 '숨은 함수(Implict function)'라고 해야 한다.[2] 용어에 한자가 섞여있거나 생소하게 다가온다면 국립국어원 자문을 통해 쉬운 고유어로 바꿔서 가르치면 되는 문제인데 아예 이를 삭제한 것이다.[3] 다만 삭제한 이유에 대해 중학교 수학과 교육과정에서 함수를 제외한 다른 단원들과의 연계성이 떨어져서 고등 과정으로 상향 이동했다는 그럴싸한 의견도 있다. (실제로 중학교 과정에서 집합이 다른 단원들에 비해 이질적이라는 의견도 있었다.)[4] 간혹 가다 중학교 1학년 문제집 중 어려운 문제를 풀어보면 십중팔구 경우의 수를 응용하고 있다. 심지어 중1 첫단원인 소인수분해 단원에서도 이러한 문제가 넘쳐나온다.[5] 최윤정. (2021). 2015 개정 교육과정 수학교과서 핵심역량 분석: 중학교 3학년 기하단원 중심으로. 학습자중심교과교육연구, 21(5), 747-765.[6] 이런 자세의 하드 카운터라고 할 수 있는 것이 유리수 판별 함수(디리클레 함수) [math(\bold{1}_{\mathbb{Q}}\left(x\right))]로, 집합에 의한 정의로는 유리수라면 1, 무리수라면 0을 대응시켜 짝을 짓는 매우 쉬운 개념(예시: [math(1 \to 1, \dfrac{1}{2} \to 1, \sqrt{2}\to 0, \pi \to 0, \cdots)])이 되지만, 좌표 평면상으로는 어떻게 그림을 그려야 할지 매우 난감해진다.[7] 심한 경우엔 수열이 함수인지도 모르는 학생도 있다.[8] '나머지 정리'도 엄연히 실수 범위에서 이루어지므로 실수와 수 체계의 정의부터 제대로 한 뒤에 구성하는 게 올바르다. 또한 실수를 다항식의 형태로 나타낼 수 없을 것 같지만, 이미 실수는 중학교 과정에서도 다항식 형태로 나타낸 바가 있다. 따라서 이 단원을 뒤에 구성해놔도 전혀 문제가 없다.[9] 2009 개정 교육과정부터 관련 전문직이나 교수들이 토론회에서 거의 안 보이기 시작하면서 발생한 중우정치의 결과물로 보인다. 전문성이 결여된 일부 교사나 관련 교육 단체들의 목소리가 높아지면서 이런 비전문적인 용어를 사용하게 된 것으로 보인다.[10] 왜 '1학년'의 꿈이라는 이름이 붙었는지를 보통 수학과 학부 1학년 때 알게 되기 때문.[11] 둥근계단함수라는 번역어를 제안하는 이유는 아래 그림처럼 계단함수와 함수 전개 양상이 비슷하기 때문이다. 다만 계단함수는 불연속임에 비해 시그모이드 함수는 매끄러운 연속이라는 차이가 있다.
[12] [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \cdot f'(x))][13] [math(\displaystyle \int | f(x) |\,\mathrm{d}x = (\mathrm{sgn} \circ f)(x) \int f(x) + C)][14] 디랙 델타 함수를 본격적으로 수학적 정의를 하는 과정 자체가 수학과 대학원 과정에 있다. 학부까지는 일단은 라플라스 변환, 푸리에 변환 등에서 다루긴 해야 하니 두루뭉술하게 정의하고 넘어간다.[15] 쌍선형 내적은 사실상 덧셈과 곱셈밖에 없기 때문에 중학교 과정에서 다뤄도 무방하다.[16] 2009 개정 교육과정 때부터 정책진이 나무위키를 참고한다는 풍문이 돌기는 했다. 가장 큰 기여를 했던 게 리그베다 위키 당시 미적분과 통계 기본, 융합과학이다. 미통기는 그렇다 쳐도 융합과학은 빼도 박도 못하는 수준.[17] 함수 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+x \right)^{\frac{1}{x}})]와 함수 [math(\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x} \right)^{x})][18] 사실 소수 정리는 중등수학에서 언급하기에는 위치가 애매한 부분은 있다. 왜냐하면 '소수'라는 정수론적 대상에 미적분을 갖다쓰는, 중등수학의 시각에서는 끔찍한 혼종(...)이기 때문.[19] 리만 가설, 로그 적분 함수를 알아야 한다.[20] 물론 소수 계량 함수는 미적분의 내용과 굉장한 연계성이 있지만, 그 연계성을 고등학교 과정에서 다루는 것은 심히 무리한 주장이다.[21] [math(\displaystyle \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \frac1k - \ln n \right))][22] [math(\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\frac1k > 1+\frac12 \sum_{k=1}^\infty {\bold 1}_{[2,\,\infty)}(k))]] 정도는 끌고 와야 하는데, 이는 수열의 위로 유계, 아래로 유계 개념이 선행되어야 한다. 하지만 이것을 다루기 위해서는 수열의 각종 수렴판정법 등을 몽땅 미적분학에서 끌고 내려와야 하고, 이는 상당히 지나치다. 이러한 개념들을 다 끌고 내려온다면 테일러 급수나 매클로린 급수 같은 내용들도 충분히 다룰 수 있는 정도이고, 애초에 현재 교과상에서는 급수를 단순히 구분구적법을 다루기 위한 선행 과정 정도로만 여기고 있기 때문에 이러한 내용은 넣을 필요가 없다[23] [math(\lfloor \log x \rfloor)]를 지표, [math(\log x - \lfloor \log x \rfloor)]를 가수로 표현하는 것.[24] [math(\displaystyle \sum_{x=a}^b f(x) \Leftrightarrow \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} \lfloor x \rfloor)][25] 출처: 한림연구보고서 125 - 고등학교 수학 교육과정 내용 축소가 이공계 인재 양성에 미치는 영향 분석.pdf 33페이지[26] 특히 해석기하의 '이차곡선'은 태초부터 허술하기도 하다. 본래 고등학교 1학년 과정에서만 다루던 '중단원' 규모의 기초 수준에 불과했다.[27] 조금만 깊이 들어가면 복소수 극형식, 드 무아브르 공식, 오일러 공식, 벡터함수나 외적같은거 다 튀어나온다. 현재에는 고급수학1에서 극좌표를 약간 다루지만, 복소평면 및 극형식과 연계해서 다루지 현 학부 1학년 미적분학 수준까지 다루진 않는다. 허나 기하학과 극좌표를 연계시키려면 대학 미적분학 식의 접근이 필요하며, 이 경우 내용이 고등학교 교육에서 다루기엔 약간 부담이 있다.[28] 이 시절 행렬 교육이 참 골때렸는데, 수학 I 첫 단원부터 그 개념과 연산법칙을 아무 맥락도 없이 제시한데다, 교육 방향 역시 선형변환이라는 본질보단 각종 반례 찾기에 집중되는 바람에 사전지식 없이 고교에서 이를 처음 배운 학생들 중에는 행렬에 대해 '복잡하고 종잡을 수 없으면서 용도도 알 수 없는 무언가' 라는 잘못된 인식을 갖는 경우도 많았다. 사실 행렬이 사라진 이유도 이런 골때리는 구성과 수능에서의 역겨운 반례 문제 때문에 학생들의 원성을 심하게 사버린 것이 크다.[참조] [30] 사실 내적은 삼각함수가 없어도 정의할 수 있다. 켤레전치 행렬곱의 행렬식([math(\det \bold{\overline a}^T\bold{b})])으로 표현할 수 있기 때문. 그러나 이렇게만 다루고 삼각함수나 벡터성분으로 표현하지 않는 것은 어불성설이므로 삼각함수가 우선되어야 하는 것은 사실.[31] 예) [math(\cos 60\degree = \dfrac12 \Leftrightarrow \arccos \dfrac12 = 60\degree)][32] 논리학에서는 영역 안에 집합의 원소를 나열하지 않는다. 그냥 원소가 있냐 없냐만 판단하기 때문에 원소가 없을 경우 빗금을 치고, 있을 경우엔 엑스표를 친다. 수학에서 쓰이는 벤 다이어그램과 상당히 다르다. 이미지 참조[33] 은행원이나 경리가 계산기 두들기지 암산하고 있던가?[34] 이기돈. (2019). 2015 개정 <미적분> 교과서의 ‘정적분과 급수의 합 사이의 관계’ 서술 내용 분석 및 제언 - <수학Ⅱ>와의 연계성 관점에서 -. 수학교육학연구, 29(1), 93-112.[35] 실제로 미적분의 기본정리는 두 개의 소정리로 구성되어 있는데, 상술한 '부정적분의 함숫값의 차' 말고도 '정적분으로 정의된 함수의 미분'이라는 내용이 따로 있다.[36] 이기돈. (2019). 2015 개정 <미적분> 교과서의 ‘정적분과 급수의 합 사이의 관계’ 서술 내용 분석 및 제언 - <수학Ⅱ>와의 연계성 관점에서 -. 수학교육학연구, 29(1), 93-112.[37] 지수꼴이 아닌 [math(\complement A)], [math(\complement_UA)]와 같이 쓴다.[38] 소수점을 온점(.)으로, 자릿수는 띄어쓰기로 표기하며 소수점 아래에서도 자릿수 표기를 한다.
예)[math(1\,234.567\,89)][39] 소수점을 온점(.)으로, 자릿수는 콤마(,)로 표기하되 소수점 아래에서는 자릿수를 표시하지 않는다. 유럽식은 소수점과 자릿수 표기가 반대이다.
예)[math(1,234.56789\ {\sf or}\ 1.234,56789)][40] 상용로그를 뜻하는 logarithmus generalis의 약자다.

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