수리논리학

1. 개요2. 역사3. 예비사항4. 핵심 개념들

4.1. 의미론적 방식

4.1.1. 모형(해석), 참

7.1. 논리 체계의 건전성, 완전성, 일관성7.2. 콤팩트성7.3. 뢰벤하임-스콜렘 정리7.4. 불완전성 정리

8. 교과 과목9. 참고 도서10. 관련 문서11. 둘러보기

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1. 개요

數理論理學 / Mathematical logic

수리논리학은 수학의 기호와 기법을 통해 논리학을 체계적으로 연구하는, 수학과 논리학 양쪽에 걸쳐 있는 핵심적인 하위 학문이다. 이 분야는 종종 기호 논리학과 동일한 의미로 사용되거나, 또는 기호 논리학의 일부분으로 간주된다. 수학 내에서는 집합론과 함께 수학 기초론을 구성하는 중요한 축을 이루며, 컴퓨터과학과 철학 분야에서도 핵심적인 지적 소양으로 간주된다.

수리논리학은 때때로 '철학적 논리학'과 구별되기도 한다. 둘 사이의 경계는 엄밀히 설정되어 있지는 않지만, 일반적으로 수리논리학은 대수학, 해석학, 집합론, 범주론 등 수학적 이론 및 기초론과 밀접한 논리적 문제들을 다루는 경향이 강하고, 반면 철학적 논리학은 언어철학, 인식론, 형이상학 같은 철학적 주제와 관련된 논리적 문제를 주로 탐구한다. 그럼에도 불구하고, 두 분야는 동일한 기초적 체계 위에서 출발한다는 점에서 본질적 연속성을 지닌다.

일반적으로 수리논리학은 연역논리를 중심으로 탐구된다. 비단조 논리(non-monotonic logic)와 같은 반례가 존재하긴 하지만, 표준적인 논의는 연역 논리, 특히 표준(standard) 혹은 고전(classical) 논리 체계를 중심으로 이루어진다. 표준 논리 체계의 개념들은 대부분 일상 언어의 자연적 어휘로부터 유래하였다. 예를 들어, 논리연산자 "∨"는 한국어의 "혹은"이나 영어의 "or"와 같은 표현에서 비롯되었다.

그러나 수리논리학이 사용하는 논리적 개념들의 의미는 종종 본래 일상 언어의 의미와 현저히 괴리되어 있다. 예컨대 명제 논리의 선언문이나 조건문 해석, 양화 논리의 개요, 존재함축과 같은 개념들은 일상적 직관과는 상당히 다른 논리적 엄밀성을 요구한다. 이 때문에 일상 언어를 논리식으로 변환하거나, 반대로 논리식을 일상 언어로 해석할 때에는 세심한 주의가 필요하다.

기호 논리학과 수리논리학은 오로지 형식적 구조와 논리적 규칙만을 다룬다. 따라서 논리적 기이함(oddity)이나 비형식적 오류 같은 주제들은 연구의 범위에서 제외된다. 이러한 형식주의적 접근 덕분에 수리논리학은 수학적 엄밀성과 철학적 사유의 교차점에서, 인간 이성이 구축할 수 있는 가장 순수하고 정제된 사고 체계를 탐구하는 학문으로 자리 잡았다.

자세한 내용은 논리적 오류/비형식적 오류 문서

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2. 역사

수리논리학의 기원은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에까지 거슬러 올라간다. 라이프니츠는 인간 이성을 기호적 계산으로 표현할 수 있다는 구상을 최초로 제안하며, "논증을 계산으로 환원할 수 있다"는 야심찬 비전을 제시했다. 그는 모든 이성적 논변을 기호로 변환하여 수학처럼 조작할 수 있는 '보편 특성 언어'(characteristica universalis)와 '논리적 계산법'(calculus ratiocinator)을 꿈꿨지만, 그의 시대는 이러한 아이디어를 실현하기에 이론적 기반이 충분하지 못했다.

이후 19세기에 이르러 조지 부울이 처음으로 진리치(truth value) 수준에서 논리를 대수처럼 계산할 수 있는 체계를 구축하였다. 부울의 논리 대수는 비록 현대적 관점에서는 제한적이었지만, 기호를 통한 논리 조작이라는 사고방식을 수학적 실천으로 정립했다. (그의 기호 체계는 현대의 논리 기호와 달리 사칙연산 기호를 응용한 것이었다.)

고틀로프 프레게와 찰스 샌더스 퍼스는 서로 독립적으로 개념 및 술어를 단위로 삼아 명제를 분석하는 양화 논리(predicate logic)의 기초를 닦았다. 특히 프레게는 《개념표기법》을 통해 최초로 완전한 현대적 기호 논리 체계를 제시했으며, 이는 명제 논리를 넘어서 술어 논리의 구조를 정립하는 결정적 전환점이 되었다. 퍼스 역시 유사한 아이디어를 개념적 도구로 발전시켰으며, 이후 논리학과 기호학, 심지어 정보 이론에도 깊은 영향을 끼쳤다.

프레게의 정신을 이어받아 버트런드 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드는 『프린키피아 마테마티카(Principia Mathematica)』를 집필하여, 모든 수학적 진리를 논리학적 진리로 환원하려는 [논리주의] 프로젝트를 본격적으로 추진했다. 이들은 수학적 명제를 순수 논리적 공리와 추론 규칙만으로 도출할 수 있음을 보이려 했고, 이는 20세기 초반 지성계에 엄청난 파장을 일으켰다. 동시에 이러한 시도는 다비트 힐베르트의 [형식주의] 프로그램에도 직접적인 자극을 주었다. 힐베르트는 수학을 무모순적인 형식 체계 위에 구축하고자 하였으며, 수학의 절대적 확실성을 수학 내부의 논리적 수단으로 증명하고자 했다.

그러나 쿠르트 괴델은 1931년, 자신의 불완전성 정리를 통해 논리주의와 형식주의 모두에 치명타를 가했다. 괴델은, 어떤 일관된(consistent) 형식 체계 내에서는 해당 체계의 무모순성을 체계 내부에서 증명할 수 없으며, 또한 충분히 표현력이 강한 체계에서는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 필연적으로 존재한다는 사실을 밝혔다. 이는 수학의 절대적 완전성과 자기완결성을 추구하던 모든 프로그램에 근본적 한계를 드러냈다.

구체적으로, ZFC(Zermelo-Fraenkel set theory with the Axiom of Choice) 집합론 체계 하에서, 연속체 가설(Continuum Hypothesis)이 체계 내에서 독립적이라는 사실을 괴델과 폴 코언이 각각 보였고, 이로써 현대 수학의 공리 체계 역시 절대적 완결성에 도달할 수 없음을 확증하게 되었다. (괴델은 연속체 가설이 ZFC에서 모순을 초래하지 않음을, 코언은 이를 부정하는 것도 모순을 초래하지 않음을 증명했다.)

이러한 역사적 전개를 거치며 20세기 중반 이후, 수리논리학은 단순히 철학적 기획에 머무르지 않고, 본격적인 수학적 탐구 분야로 발전하였다. 모형 이론, 증명이론, 계산이론, 집합론, 범주론 등으로 세분화되면서, 현대 수리논리학은 컴퓨터 과학, 정보 이론, 언어학, 심지어 인공지능 연구까지 폭넓은 영향력을 행사하는 분야로 확장되었다.

오늘날 수리논리학은 더 이상 수학의 기초만을 다루는 데 그치지 않고, '계산 가능한 것'과 '형식화 가능한 것'의 본질을 탐구하는, 인간 사고의 가장 심오한 구조를 밝히려는 지적 모험의 최전선에 서 있다.

3. 예비사항

본격적인 수리 논리학 개념 소개에 앞서서 알아두면 좋을 몇몇 논리학적, 논리철학적, 언어철학적 사항들이 있다. 이런 사항들은 실제 논리학 문헌에서는 종종 편의상 슬쩍 넘어가고는 하지만, 논리학적 엄밀성을 위해선 반드시 준수되어야 한다. 형식주의 언어학 계통, 특히 형식의미론에서는 밥먹고 매일 하는 것이다.

자세한 내용은 수리논리학/예비사항 문서

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4. 핵심 개념들

전통적으로 논리학은 "적법한 생각(혹은 추론)의 규칙은 무엇인가?"라는 문제에 답하고자 하는 학문으로 여겨졌다. 프레게 이후 이는 "무엇이 타당한 논증인가?"라는 질문으로 전환되었다.

일반적으로 수리 논리학에서 논증이란 특정한 문장 집합("전제")과 특정한 문장("결론")으로 구성된다.[1] 이런 무수한 논증들 가운데 오직 일부만이 적법한 논증, 즉 타당한(valid) 논증이다. 그리고 이때 '타당성'은 크게 두 가지 방식으로 정의된다.

4.1. 의미론적 방식

의미론적 방식에 따르면 타당한 논증이란 전제들이 모두 참인 경우 그 결론 또한 반드시 참인 논증이다. 전제들이 모두 참임에도 불구하고 결론이 거짓일 수 있는 논증은 부당한 논증이다. 특수한 유형들로 다음 예시가 있다:

전제가 항상 거짓인 경우 논증은 항상 타당하며, 결론이 항상 참인 경우 또한 논증은 항상 타당하다. 이와 같은 경우에 그 논증은 공허하게(vacantly) 타당하다.
전제들이 모두 참이며 논증이 타당한 경우, 그 논증은 건전하다(sound).

전제들이 모두 참인 동시에 결론이 참이라고 해서 그 논증이 반드시 타당한 것은 아니다. 논증이 타당하기 위해선 전제들이 모두 참인 경우 결론 또한 반드시 참이어야 하지, 단순히 전제들이 모두 참인 경우 결론 또한 우연히 참인 것은 안되기 때문이다.

타당한 논증의 예시: "만약 소크라테스가 철학자라면, 소크라테스는 지혜를 사랑한다. 소크라테스는 철학자다. 따라서 소크라테스는 지혜를 사랑한다."
타당하지 않는 논증의 예시: "소크라테스는 철학자다. 고래는 포유류다. 따라서 손흥민은 축구선수다."

논증이 의미론적으로 타당한 경우 그 결론은 전제의 논리적 귀결이다. 결론 [math(\phi)]가 전제 집합 [math(\Gamma)]의 논리적 귀결이라는 것을 두고 표준적으로 다음과 같이 표현한다.

[math(\Gamma \models \phi )]

그리고 전제 집합 [math(\Gamma)]가 공집합인 경우 그 논리적 귀결 [math(\phi)]는 논리적 참이다.

[math( \models \phi )]

4.1.1. 모형(해석), 참

참과 거짓의 본성을 묻는 것은 형이상학의 세부 분과 중 하나인 진리론의 중요한 문제다. 다만 논리학 보다 구체적으로는 모형 이론(model theory)에서 문장의 진릿값은 편의상 모형 혹은 해석에 상대적으로 부여된다.

예. 모형 M에서 김철수는 모든 학생들의 집합의 원소라고 하자.[2] 그렇다면 문장 "김철수는 학생이다"는 M에서 참이다.

해석은 문장에 지시체를 할당하는 작업이다. 이를테면 명제 논리에서는 각각의 명제에 T 또는 F를 할당하는 것이, 양화 논리에서는 논의 영역과 개체상항을 명시하고 문장의 지시체를 결정해서, 궁극적으로 그 문장의 참 거짓을 판별하는 것이 해석이라고 할 수 있다. 이처럼 해석을 문장에 진릿값을 할당하는 작업으로 파악하면, 최소한 표면적으로는 참과 거짓이 도대체 무엇이냐고 하는 진리론적 논의 없이도 논리학적 문장들을 다룰 수 있게 된다.[3]

그리고 이런 모형 이론적 개념을 취할 경우 논리적 귀결 관계는 다음과 같이 재정의될 수 있다

[math(\Gamma\models\phi\Leftrightarrow\Gamma)]의 모든 원소들이 참인 임의의 모형 [math(M)]에서 [math(\phi)]도 참이다.

더불어 논리적 참은 임의의 모형에서 참인 문장으로 이해될 수 있다.

4.2. 구문론적 방식

전제나 결론의 진리치를 굳이 따지지 않고서도 논증의 타당성을 따져볼 수 있다. 이때 관건은 오직 주어진 추론규칙들에 의거하여 전제들로부터 결론이 도출가능한지 혹은 증명가능한지 여부다. 결론 [math(\phi)]가 전제 집합 [math(\Gamma)]들로부터 도출가능한 경우 이를 보통 다음과 같이 표현한다.

[math(\Gamma \vdash \phi )]

전제 집합 [math(\Gamma)]와 '공리'라고 불리는 일련의 문장들로부터 주어진 추론규칙들을 유한번 적용해서 얻은 문장들의 열(sequence)을 '증명'이라고 부른다. 그리고 전제가 공집합일 때, 증명의 마지막 행에 놓이는 문장을 '정리'(Theorem)라고 부른다.

5. 명제 논리

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6. 양화 논리

자세한 내용은 양화 논리 문서

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의 [[양화 논리#|]][[양화 논리#|]] 부분을

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7. 메타 정리들

이하의 논리학적 정리들은 논리 체계 내부의 정리가 아니라, 논리 체계 그 자체에 대한 정리이기 때문에 메타 정리라고 불린다. 이 메타 정리들은 명제 논리와 1차 술어논리에서만 동시에 성립하며, 2차 이상의 논리 체계에서는 어떻게 하더라도 동시에 성립할 수 없다. 이 성질들이 동시에 성립하는 1차 술어논리는 가장 기초적인 논리 체계가 된다고 할 수 있으며, 따라서 지금까지도 수학의 기초로 활용되고 있다.

7.1. 논리 체계의 건전성, 완전성, 일관성

논리 체계의 건전성, 완전성, 일관성은 다음과 같이 간략하게 기술된다.

논리체계가 건전하다는 것은 문장집합 [math(\Gamma)]로부터 문장 [math(\phi)]가 도출되면, 문장 [math(\phi)]가 문장집합 [math(\Gamma)]의 귀결이라는 것이다.
[math(\Gamma\vdash\phi\Rightarrow\Gamma\models\phi)]
논리체계가 완전하다는 것은 문장 [math(\phi)]가 문장집합 [math(\Gamma)]의 귀결일 때, 문장집합 [math(\Gamma)]로부터 문장 [math(\phi)]가 도출된다는 것이다.
[math(\Gamma\models\phi\Rightarrow\Gamma\vdash\phi)]
논리체계가 일관적이라는 것은 공집합으로부터 모순이 도출되지 않는다는 것이다. 이는 무모순성이라고도 표현한다.
[math(\emptyset\not\vdash\bot)]

여기서, (1)과 (2)는 역의 관계에 있다. 명제 논리와 1차 술어논리 체계가 건전하며 동시에 완전하다는 것은 건전성 정리와 괴델의 완전성 정리를 통해 증명되어 있다. 즉, 명제 논리와 1차 술어논리에서 모형이론적 진리와 증명이론적 진리는 서로 같다. 타당한 문장은 증명될 수 있고, 증명될 수 있는 문장은 타당하다.

[math(\Gamma\models\phi\Leftrightarrow\Gamma\vdash\phi)]

또한 표준적인 명제 논리와 1차 술어논리의 체계는 일관적이다. 이 체계에서는 공집합으로부터 모순이 도출되지 않는다. 역시 괴델의 완전성 정리에 따라 1차 논리에서 일관성이 성립함이 증명되었다.

7.2. 콤팩트성

콤팩트성은 쉽게 말하자면 어떤 집합이 '닫혀 있는' 성질이라고 할 수 있다. 1차 술어논리와 명제논리에서는 모든 문장 집합에 대해 콤팩트성이 성립하는데, 이 메타증명을 콤팩트성 정리라고 한다. 이를 보다 상세하게 정의하면 다음과 같다.

임의의 문장 [math(\phi)]가 임의의 문장 집합 [math(\Gamma)][4]의 귀결일 때, [math(\Delta \models \phi)]를 만족시키는 [math(\Gamma)]의 어떤 유한 부분집합 [math(\Delta)]가 존재한다.

또한 콤팩트성 정리에 따르면 논리 체계의 일관성과 콤팩트성은 동치이다. 콤팩트성이 항상 성립하는 논리 체계는 일관적인 논리 체계이며, 일관적인 논리 체계에서는 콤팩트성이 항상 성립한다.

7.3. 뢰벤하임-스콜렘 정리

자세한 내용은 뢰벤하임-스콜렘 정리 문서

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7.4. 불완전성 정리

괴델은 임의의 논리 체계가 자연수 산술 체계를 포함할 수 있을 정도로 강력할 경우 그 논리 체계는 불완전하다는 것을 보였다.

자세한 내용은 불완전성 정리 문서

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8. 교과 과목

수리논리학은 학과별 특성과 커리큘럼에 따라 다양한 방식으로 다루어진다.

수학과에서는 주로 집합론과 함께 수리논리학을 전공과목으로 편성하는 경우가 많지만, 학부 과정에서 별도로 강의되지 않고 대학원 과정으로 넘어가는 경우도 있다. 이는 수리논리학이 상대적으로 특수화된 이론 체계를 다루기 때문에, 전공 필수 과목보다는 선택 과목으로 다루어지는 경우가 많기 때문이다.

철학과에서는 대체로 수리논리학 또는 기호논리학이 학부 전공필수 과목으로 개설되지만, 철학과 특유의 자유로운 커리큘럼 운영 특성상 필수 과목이 아닌 선택 과목으로 제공되는 경우도 흔하다. 학교나 학과의 지향에 따라 필수 여부가 달라질 수 있으며, 형식논리, 비형식논리, 기호논리 등의 이름으로 강의명이 변형되기도 한다.

컴퓨터공학과에서는 별도의 수리논리학 강의보다는, 학부 과정의 이산수학 강의나 오토마타 이론 강의 내에서 수리논리학의 핵심 개념들—명제 논리, 술어 논리, 형식 언어, 계산 가능성 이론 등—을 부분적으로 다루는 경우가 일반적이다. 특히 계산이론 및 형식 언어 이론은 컴퓨터공학의 이론적 기초를 이루는 중요한 구성요소로 여겨진다.

언어학과에서는 수리논리학을 직접 전공 과목으로 다루지는 않지만, 수리언어학 또는 형식 의미론(formal semantics) 강의에서 기호 논리학적 방법론을 다루는 경우가 있다. 이 과정에서는 명제 논리, 양화 논리, 모형 이론의 기초가 언어의 의미 구조를 분석하는 데 필수적 도구로 활용된다.

요컨대 수리논리학은 학문 분야마다 다르게 위치 지워지지만, 현대 학문의 이론적 기초를 형성하는 데 있어 여전히 핵심적 역할을 수행하고 있다.

9. 참고 도서

수리논리학 및 기호 논리학 입문을 위한 대표적인 교재로는 다양한 학제적 흐름에 따라 선택지가 구분된다. 수학과 학부 과정에서는 Herbert Enderton의 『A Mathematical Introduction to Logic』이 가장 널리 사용된다. 이 책은 명제 논리와 1차 논리 체계, 모델 이론의 기초를 간결하면서도 명료하게 다루어, 수학적 엄밀성과 직관적 설명을 균형 있게 제공한다.

철학과 과정에서는 입문 수준 교재로 성균관대학교 이병덕 교수의 『코어 논리학』과 한양대학교 최원배 교수의 『논리적 사고의 기초』가 활용되며, 중급 수준으로는 Benson Mates의 『Elementary Logic』(한국어 번역본 제목: 『기호논리학』, 김영정·선우환 공역)이 널리 읽힌다. 또한 Boolos, Jeffrey, Burgess의 공저인 『Computability and Logic』(한국어 번역본: 『계산가능성과 논리』, 김영정 역, 현재 절판)은 수학적 계산 가능성과 논리 체계의 깊은 연관을 탐구하는 데 필수적인 교재로 손꼽힌다.

이외에도, 중급 이상의 학습자를 위해 추천할 수 있는 교재로는 다음과 같은 저작들이 있다.

Peter Smith의 『An Introduction to Formal Logic』

철학과 학생을 위한 형식 논리학 입문서로, 엄밀성과 이해도를 모두 고려한 설명을 제공한다.

Elliott Mendelson의 『Introduction to Mathematical Logic』

고전적이면서도 체계적인 수리논리학 교재로, 특히 수학과 학생들에게 권장된다.

Enderton의 또 다른 저서인 『Elements of Set Theory』

수리논리학과 밀접한 집합론 기초를 다루며, 논리-집합 연결고리를 강조한다.

Raymond Smullyan의 『First-Order Logic』

1차 논리 체계의 직관적 이해와 공리화 과정을 흥미롭게 설명한 명저이다.

Joseph R. Shoenfield의 『Mathematical Logic』

고전적인 접근으로 깊이 있는 논리학을 다루는 대학원 수준 입문서.

또한, 최근에는 Wilfrid Hodges의 『A Shorter Model Theory』나, Stewart Shapiro의 『Foundations Without Foundationalism』처럼, 모형 이론이나 수학기초론적 관점에서 수리논리학을 심화하는 접근서들도 주목받고 있다.

10. 관련 문서

11. 둘러보기

논리학 Logics
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[1] Sequent Calculus 등 복수의 결론을 허용하는 논리 체계도 있다.[2] 보다 엄밀히 말하자면, M에서 "김철수"의 지시체 c는 "-는 학생이다"의 외연 집합 H의 원소라고 하자.[3] 현대 모형 이론의 창시자인 알프레트 타르스키는 모형 이론적 참 개념이 진리론의 유력한 학설 중 하나인 대응론적 참 이론의 연장선 상에 있다고 보았다.[4] 무한집합이어도 된다.

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수리논리학

1. 개요

2. 역사

3. 예비사항

4. 핵심 개념들

4.1. 의미론적 방식

4.1.1. 모형(해석), 참

4.2. 구문론적 방식

5. 명제 논리

6. 양화 논리

7. 메타 정리들

7.1. 논리 체계의 건전성, 완전성, 일관성

7.2. 콤팩트성

7.3. 뢰벤하임-스콜렘 정리

7.4. 불완전성 정리

8. 교과 과목

9. 참고 도서

10. 관련 문서

11. 둘러보기

분류