순환소수

1. 개요

循環小數 / repeating decimal, recurring decimal

소수로 표기 시 일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하는 수를 일컫는다. 즉, 무한소수 중 순환되는 단위가 있을 경우 이를 순환소수라 한다. 이 때 소숫점 아래에서 순환, 즉 반복하는 가장 짧은 부분을 '순환마디'라고 한다.

나타낼 때에는 다음과 같이 순환마디의 맨 처음 부분과 맨 마지막 부분 위에 점을 붙여 표시한다.[1]

[math(0.333333 \cdots = 0. \dot 3)]
[math(0.1624624624 \cdots = 0.1 \dot 62 \dot 4)]
[math(0.34343434 \cdots = 0. \dot 3 \dot 4)]

한국에서는 위와 같은 점찍는 방법을 사용[2]하고 있지만, 표기법이 세계적으로 통일된 게 아니라서 나라별로 약간씩 차이가 있다. 다음 방법들도 사용된다.

순환마디 위나 아래에 줄긋기
[math(\dfrac 17 = 0.\overline{142857} = 0.\underline{142857})][3]
순환마디를 괄호로 감싸기
[math(0.(142857))]
순환마디 위에 호를 그리기
[math(\dfrac{67}{55} = 1.2~\:\overset{\normalsize\mathclap\frown}{\phantom{\scriptsize;\!}}\clap{18}~\:)]

참고로 중등교육에서는 순환소수와 유한소수를 별개의 것으로 분리해서 가르치지만, [math(n)]진법까지 고려한 소수 표현의 일반화를 고려하면 유한소수는 순환소수 중 순환마디가 0으로 반복되는 특수한 사례로 보는 게 더 타당하다. 보통은 순환마디가 0인 혼순환소수이지만, 정수라면 순환마디가 0인 순순환소수라고 생각할 수 있다.

반면에 순환마디가 없는 무한소수도 있는데 이를 무리수라고 한다. 물론 무리수라고 소수점 아래 구간의 규칙이 항상 없거나 발견하지 못한 것이라고는 할 수 없다.

2. 종류

기약분수로 나타냈을 때 분모가 [math(2)]와 [math(5)] 이외의 소인수를 갖는다는 공통된 특징이 있다.[4]

2.1. 순순환소수

순환마디가 첫째 자리부터 시작되는 소수를 일컫는다.

[math(0.333\cdots = 0.\dot3)]
[math(0.343434\cdots = 0.\dot3\dot4)]

어떤 순환소수가 순순환소수일 필요충분조건은 그 순환소수를 기약분수로 나타냈을 때 분모가 10과 서로소[5]인 것이다. 증명은 다음과 같다.

[ 증명 펼치기 · 접기 ]: 일반성을 잃지 않고, 순환소수의 정수 부분이 0이라고 가정하자. 즉, 우리가 생각할 순환소수는 [math(0.a_1a_2a_3a_4\cdots)]의 꼴이다.
먼저 순순환소수 [math(0.\dot{a_1}a_2\cdots\dot{a_n})]을 생각하자. 아래의 '분수화' 과정을 통해서 이 순환소수를 분수로 고치면 [math(0.\dot{a_1}a_2\cdots\dot{a_n}=\cfrac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n-1})]이 된다. 여기서 [math(a_1a_2\cdots a_n)]은 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]까지의 곱이 아니라 각 자릿수가 [math(a_1)]부터 [math(a_n)]인 십진법 꼴의 정수이다. 즉, [math(a_1=3)], [math(a_2=6)], [math(a_3=9)]라면 [math(a_1a_2a_3=369)]와 같이 약속한다. 그러면 위에서 얻은 분수 [math(\cfrac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n-1})]을 약분하여 기약분수 [math(\cfrac pq)]로 고쳤다고 하면, [math(q)]는 [math(10^n-1)]의 약수가 된다. [math(10^n-1)]과 10이 서로소임은 명백하므로, [math(q)] 또한 10과 서로소여야 한다.
역으로 어떤 기약분수 [math(\cfrac pq)]에 대하여 [math(q)]가 10과 서로소라고 가정하자. 그러면 오일러 정리에 의하여 [math(10^{\varphi(q)}-1)]은 [math(q)]의 배수이다. 여기서 [math(\varphi)]는 오일러 피 함수이다. 따라서 적당한 정수 [math(r)]을 분자, 분모에 곱하여 [math(\cfrac pq = \cfrac{pr}{10^{\varphi(q)}-1})]이 되도록 할 수 있다. 이 형태의 분수가 순순환소수가 됨은 위에서 이미 보였다.

2.2. 혼순환소수

순환마디가 둘째 이후의 자리부터 시작되는 소수를 일컫는다.

[math(0.1624624624\cdots = 0.1\dot62\dot4)]
[math(\dfrac56 = 0.8333\cdots = 0.8\dot3)]
[math(\dfrac15 = 0.2000\cdots = 0.2\dot0)] - 교과과정에서는 유한소수로 배우지만 엄연히 혼순환소수의 하나다.

어떤 순환소수가 혼순환소수일 필요충분조건은 그 순환소수를 기약분수로 나타냈을 때 분모가 10과 서로소가 아닌[6] 것이다.

3. 분수화

순환소수를 분수로 고치기 위해서 다음과 같은 방법을 쓸 수 있다. 중2 수학 시험에 꼭 나오는 부분이다.

대수적 방법
두 가지 예를 들어서 과정을 설명한다. [math(0. \dot 3)]의 경우

[math(a=0.333333 \cdots)]로 놓으면
[math(10a=3.333333 \cdots)] (ㄱ)
[math(a=0.333333 \cdots)] (ㄴ)
(ㄱ)-(ㄴ)을 하면 [math(9a=3)], [math(\therefore a = \cfrac13)] (약분을 해야 한다) [7]

[math(a=0.142857142857 \cdots)]로 놓으면
[math(1000000a=142857.142857 \cdots)] (ㄱ)
[math(a=0.142857142857 \cdots)] (ㄴ)
(ㄱ)-(ㄴ)을 하면 [math(999999a=142857 \; \therefore a=\displaystyle \frac{142857}{999999} = \displaystyle \frac{1}{7})]

등비급수를 이용한 방법
2015 개정 교육과정 기준 미적분에서 등장한다. 예를 들어 [math(2.32 \dot 4)]는 다음과 같이 유리화한다.

[math(2.32\dot4)]는 [math(2.32 + 0.00\dot4)]로 쓸 수 있다.
[math(0.00 \dot 4 = \cfrac1{100}{\biggl( \cfrac4{10} + \cfrac4{100} + \cfrac4{1000} + \cdots \biggr)} = \cfrac4{100}{\biggl( \cfrac1{10} + \cfrac1{100} + \cfrac1{1000} + \cdots \biggr)} = \cfrac4{100} \displaystyle \sum^\infty_{n=1}{\left( \frac1{10} \right)}^n)]
여기서 [math(\sum)] 이후의 부분이 바로 첫째항과 공비가 동시에 [math(\displaystyle \frac{1}{10})]인 등비급수다.
첫째항이 [math(a)], 공비가 [math(r)]인 등비급수의 합이 수렴할 때 그 값은 [math(\cfrac a{1 - r})]이므로,
[math(\displaystyle \sum^\infty_{n=1} {\left( \frac1{10} \right)}^n = \frac{\dfrac1{10}}{1 - \dfrac1{10}} = \frac19)]
그러므로 [math(2.32\dot4 = 2.32 + 0.00\dot4 = \cfrac{232}{100} + {\biggl( \cfrac4{100} \times \cfrac19 \biggr)} = \cfrac{232}{100} + \cfrac4{900} = \cfrac{2092}{900} = \cfrac{523}{225})]

공식
위에서 소개한 등비급수를 이용한 방법을 공식화한 것이다.
위와 같이 [math(2.32 \dot 4)]를 예로 들면

분모에는 (ㄱ) 순환마디의 글자 수만큼 9를 쓰고(예시로 든 수의 경우 1개), (ㄴ) 순환마디가 아닌 소수점 아래의 글자 수만큼 0을 쓴다(2개).
분자에는 (ㄱ) 유리화하려는 순환소수를 소수점과 윗점을 제외하고 쓴 수(2324)에서 (ㄴ) 순환소수를 소수점과 순환마디를 제외하고 쓴 수(232)를 뺀 수를 적는다.

위의 등비급수를 이용한 풀이 과정을 다음과 같이 변형해서 쓸 수 있다.

[math(\begin{aligned} 2.32 + 0.00\dot4 &= \frac{232}{100} + {\left( \frac4{100} \times \frac{\dfrac1{10}}{1 - \dfrac1{10}} \right)} \\ &= \frac{232}{100} + \frac4{100 \times {\left( 1 - \dfrac1{10} \right)} \times 10} \\ &= \frac{232}{100} + \frac4{100 \times (10 - 1)} \\ &= \frac{232 \times (10 - 1) + 4}{100 \times (10 - 1)} \\ &= \frac{(2320 + 4) - 232}{100 \times 9} \\ &= \frac{2324 - 232}{900} {\left( = \frac{2092}{900} = \frac{523}{225} \right)} \end{aligned})]

여기서 마지막 줄 부분을 위와 같이 알고리즘화한 것이다.}}}

[1] 숫자가 아닌 문자에 점이 찍히면 시간에 대해서 미분한다는 의미가 될 수 있지만 이런 표기법은 동역학과 거시경제학 외의 영역에서는 별로 사용되지 않으므로 그닥 신경쓰지는 않아도 된다.[2] 초중고 시험에서도 이 방법으로 표기해야 한다.[3] 이걸 'bar'라고 하며 윗줄의 경우 'vinculum'이라고도 한다.[4] 당연하지만 이는 십진법을 기반으로 하기 때문에 나타나는 특징이다. 이를테면 주판 등에서 쓰이는 5진법에서의 순환소수는 분모가 5 이외의 소인수를 가지면 모조리 순환소수이고 이진법 역시 분모가 2 이외의 소인수를 가지면 모조리 순환소수가 된다.[5] 즉, 분모의 소인수에 2와 5가 있으면 안 된다.[6] 즉, 분모의 소인수에 2 또는 5가 있어야 한다.[7] 같은 방식으로 [math(0.\dot9)]를 유리화 하면 [math(9a=9)], [math(\therefore a=1)] 이므로 [math(0.dot9=1)]이다.

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수와 연산 Numbers and Operations
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수 체계 Number Systems
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