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무한소수


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1. 개요2. 무한소수의 종류
2.1. 순환소수2.2. 비순환소수
3. 기타

1. 개요

無限小數

무한소수는 소수점[1] 아래의 0 이 아닌 숫자가 무한히 많은 소수를 의미하며, 크게 순환소수와 비순환소수로 나뉜다. 유한소수와 달리 소수점 아래의 자리가 끝없이 이어지는 소수를 말한다. 유명한 예로는 원주율(=3.141592...)이 있다. 일정한 지점 이후에서 숫자가 반복되느냐에 따라 순환소수(유리수)와 비순환소수(무리수)로 나뉘며, 비순환소수는 다시 대수적 무리수와 초월수로 나뉜다. 순환소수는 무한소수 중에서도 순환하는 무한소수다. 즉, 0.333333...[2] 이나 0.47834834834...[3] 처럼 순환마디가 계속해서 반복되는 소수다. 순환소수를 분수로 바꾼 뒤 기약분수로 나타내면 분모의 소인수는 2, 5 이외의 것이 있다. 대한민국에서는 보통 중2 때 배운다.

2. 무한소수의 종류

2.1. 순환소수

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2.2. 비순환소수

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를
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의 [[무리수#s-|]]번 문단을
#!if 문단 == null & 앵커 != null
의 [[무리수#|]][[무리수#|]] 부분을
참고하십시오.

일정한 숫자 배열이 계속해서 반복하지 않는 소수다. 순환소수(유리수)와 달리 분모, 분자가 서로소로 이루어진 기약분수로 나타낼 수 없는 무리수며 당연히 유리수에 포함되지 않는다. 교과 과정에서는 순환하지 않는 무한소수라고도 한다.

비순환소수로는 [math(sqrt{2})], [math(sqrt{3})]등 대수적인 무리수와, [math(pi)](파이, 원주율), 자연로그의 밑 [math(e)], 오메가 상수, 겔폰트-슈나이더 상수 등 초월수에 속하는 무리수가 있다.

비순환소수는 무한소수임을 증명하는 내용의 핵심 #

소수 배열에 규칙이 없거나 찾기 어렵다는 것과는 엄연히 다르다. 순환소수는 순환마디의 반복이라는 규칙이 존재하지만, 비순환소수 역시 0.12122122212222… 와 같이 규칙이 존재할 수 있다.

3. 기타

십진법에서 무한소수로 표현되는 수라도 진법을 바꾸면 유한소수가 될 수 있다. 이 예로, 1/3을 삼진법으로 나타내면 [math(0. 1_{(3)})]이다. 그 반대의 경우도 마찬가지. 이 예로는 0.2를 이진법으로 나타내면 [math(0. \dot 001 \dot 1_{(2)})]이 나온다. 일반적으로 기약분수를 [math(k)]진법의 소수로 나타내었을 때 유한소수이기 위해서는 분모의 모든 소인수가 [math(k)]의 소인수여야 한다. 이는 십진법에서 유한소수가 될 때 분수의 분모의 소인수가 2 또는 5만 있어야 한다는 점을 생각하면 이해하기 쉽다.

프로그래밍 하는 사람들이 주로 아는 문제인, Float형의 0.1 + 0.2 != 0.3이 있다. 이를 계산한 후 소수점 아래 18번째 자리에서 반올림하면 0.299999999999999988 != 0.300000000000000044로 표현된다. 이유는 2진법 체계에서는 1/10 같은 나눗셈이 무한소수가 되는데, 이를 부동 소수점 기법으로 유효숫자 처리해서 그렇다.

[1] 소수끼리의 계산에서 자릿수 맞추는 게 더더욱 중요해진다. 더 나아가 소수점을 지워버리면 아예 무한대가 되어버린다.[2] 순환마디는 3이다.[3] 순환마디는 834이다.

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