최근 수정 시각 : 2024-05-06 23:47:26

베르누이 미분방정식

1. 개요2. 해법

1. 개요

Bernoulli differential equation / - / (프랑스어)Équation différentielle de Bernoulli

베르누이 미분방정식은 [math(y)]가 [math(t)]의 함수일 때 다음과 같이 표현되는 비선형 1계 상미분 방정식이다.[1]
[math(\displaystyle
y'(t) + p(t)y(t) = q(t) y(t)^n \qquad (n \neq 0,1)
)]
이 방정식은 1695년 이를 처음으로 연구한 야코프 베르누이의 이름을 붙였다. 베르누이 미분방정식은 비선형 상미분방정식임에도 일반해를 구하는 방법이 알려져 있는 특수한 경우이다. 로지스틱 방정식은 베르누이 미분방정식의 한 예다.[2]

2. 해법

자명해가 아닌 해를 구하려면 양변을 [math(y^n)]으로 나누고 [math(\displaystyle u = \frac{1}{y^{n-1}})]로 치환하여 다음과 같은 선형 상미분방정식으로 변환한다.
[math(\displaystyle
u'(t) + (1-n)p(t)u(t) = (1-n)q(t)
)]
이렇게 치환된 문제는 적분인자를 사용한 해법으로 쉽게 해를 구할 수 있다. 이 치환된 문제의 해를 [math(u^*(t))]라 하면 베르누이 미분방정식의 해는
[math(\displaystyle
y(t) = [ u^*(t) ]^{\frac1{1-n}}
)]
이다.

풀이를 쉽게 하기 위해 위의 식에서 [math(P(t) = (1-n) p(t))]라고 하고 [math(Q(t)=(1-n)q(t))]라고 하면, 적분인자는 [math(e^{\int \!P(t){\rm d}t})]이고, 이로부터 [math(u^*(t))]를 다음과 같이 얻을 수 있다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
u^*(t) &= \frac{\displaystyle \int e^{\int \!P(t){\rm d}t} Q(t)\,{\rm d}t + C}{e^{\int \!P(t){\rm d}t}} \\
&= \frac{\displaystyle (1-n)\int e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t} q(t)\,{\rm d}t + C}{e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t}}
\end{aligned} )]
따라서 초기조건에 따라 적분상수 [math(C)]를 적당한 값으로 정해주면 [math(y(t))]는 다음과 같다.
[math(\displaystyle \begin{aligned}
y(t) = \left[ \frac{\displaystyle (1-n)\int e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t} q(t)\,{\rm d}t + C}{e^{(1-n)\!\int \!p(t){\rm d}t}}\right]^{\frac1{1-n}}
\end{aligned} )]


[1] 여기서 [math(n=0)] 또는 [math(n=1)]이면 선형 1계 상미분방정식으로 쉽게 풀린다.[2] [math(n=2)]일 때 로지스틱 방정식과 같은 꼴이므로.