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1. 정의
[math(\tau(n))]은 [math(n)]의 양의 약수의 개수,[math(\sigma(n))]은 [math(n)]의 양의 약수의 합,
[math(\phi(n))]은 [math(n)] 이하의 수 중 [math(n)]과 서로소인 수의 개수로 정의하자.
2. 성질
- 곱셈적이지만 완전 곱셈적은 아니다.
- 즉 [math((m,n)=1)]이면 [math(\mu(m)\mu(n)=\mu(mn))]이지만, [math(\mu(m)\mu(n)=\mu(mn))]이 언제나 성립하지는 않는다.
- 예를 들어 [math(\mu(2)\times\mu(2)=1)]이지만 [math(\mu(2\times2)=0)]이다.
- [math(\displaystyle\sum_{d|n}\mu (d)=[\frac{1}{n}]=\begin{cases} 1&(n=1)\\0&(n>1)\end{cases})]
- [math(f(n)=\displaystyle\sum_{d|n}g(d))]이면, [math(g(n)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)\mu(\frac{n}{d}))]
- 이를 뫼비우스 반전공식이라 하며, 디리클레 합성곱을 통해 유도할 수 있다.
- [math(\mu(n)\mu(n+1)\mu(n+2)\mu(n+3)=0)]
- 연속된 4개의 자연수에는 반드시 4의 배수가 있으므로 성립한다.
- [math(\displaystyle\frac{\phi(n)}{n}=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d})]
- [math(\displaystyle\sum_{n|d}\mu(\frac{n}{d})\tau(d)=1)][1]
- [math(\displaystyle\sum_{n|d}\mu(\frac{n}{d})\sigma(d)=n)]
정수론이 아니라 대수학에서도 자주 쓰이는데, 소수 [math(p)]와 임의의 자연수 [math(n)]에 대하여 정수체 [math(Z_{p}\left[x\right])] 상에서의 [math(n)]차 모닉 기약다항식[2]의 개수는 다음과 같다.
- [math(\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{d|n}\mu(d)p^{\frac{n}{d}})]
[1] 디리클레 합성곱으로 나타내자면 [math(u=\mu * \tau)][2] 해당 체에서 인수분해되지 않는 기약다항식 중에서도 최고차항의 계수가 1인 다항식. 예를 들어서 유리수체 [math(\mathbb{Q})] 위에서 [math(x^2-2=0)]은 인수분해되지 않는 기약 다항식이지만, [math(\mathbb{Q})]에 [math(\sqrt{2})]를 추가하여 확장한 [math(\mathbb{Q}\left[\sqrt{2}\right])] 위에서는 [math(x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2}))]로 인수분해되어 기약 다항식이 아니다.